Show that integral0^infty e^-t sin tt d t=pi4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral0^infty e^-t,sin tt,dt
Este problema envolve integração de funções parametrizadas e uso de derivação sob o sinal de integral (teorema de Leibniz).

Passo 2

Introduzimos a função de parâmetro a>0:
I(a)=integral0^inftye^-a t,sin tt,dt
Nosso objetivo é encontrar I(1).

Passo 3

Diferenciamos I(a) em relação a a, trocando derivada e integral (justificado pela convergência uniforme):
I'(a) =dda integral0^inftye^-a t,sin tt,dt =-integral0^inftye^-a t,sin t,dt

Passo 4

Usamos a integral conhecida
integral0^inftye^-a t,sin t,dt=11+a^2,
logo
I'(a)=-11+a^2

Passo 5

Integramos em a:
I(a)=-integral11+a^2,da=-arctan(a)+C,
onde C é constante a determinar.

Passo 6

Para achar C, analisamos o limite atoinfty. Como e^-a t decai rápido, I(a)to0 quando atoinfty. E arctan(a)topi/2, daí
0=I(infty)=-pi2+C Longrightarrow C=pi2
Logo
I(a)=pi2-arctan(a)

Passo 7

Finalmente, para a=1:
integral0^inftye^-t,sin tt,dt =I(1) =pi2-arctan(1) =pi2-pi4 =pi4

Resposta

pi4

Exercícios relacionados