Seja f uma função contínua no intervalo [a, b]. Para a<x<b, considere que exista a derivada de 2^a ordem de f(x), f^prime(x)>0 e f^prime prime(x)>0. Se f^-1 é a função inversa de f, então:
Encontre a derivada de 2^a ordem de f^-1. Solução de Nome (matricula), Nome (matricula),… :

Passo 1

Então, a gente tem uma função f que é contínua no intervalo [a, b] e, para todo x entre a e b , as primeiras derivadas de f existem e são positivas, ou seja, f'(x) > 0 e f''(x) > 0 . A gente quer achar a segunda derivada da função inversa de f , que é f^-1 . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar a derivada da função inversa. Se y = f(x) , então x = f^-1(y) . A derivada de f^-1 em relação a y é o inverso da derivada de f em relação a x . Isso é dado por:
(f^-1)'(y) = 1f'(x)

Passo 3

Agora, queremos achar a segunda derivada de f^-1 , ou seja, (f^-1)''(y) . Para isso, vamos derivar novamente (f^-1)'(y) em relação a y . Usando a regra da cadeia, temos:
(f^-1)''(y) = ddy( 1f'(x) )

Passo 4

Vamos aplicar a regra do quociente na derivada acima. Primeiro, derivamos 1f'(x) em relação a x , e depois multiplicamos pela derivada de x em relação a y , que é (f^-1)'(y) . Então:
(f^-1)''(y) = -f''(x)(f'(x))^2 cdot 1f'(x)

Passo 5

Simplificando a expressão, temos:
(f^-1)''(y) = -f''(x)(f'(x))^3

Resposta

A segunda derivada da função inversa f^-1 é:
(f^-1)''(y) = -f''(x)(f'(x))^3

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