Seja
uma função contínua no intervalo
. Para
, considere que exista a derivada de
ordem
e
. Se
é a função inversa de
, então:
Encontre a derivada de
ordem de
. Solução de Nome (matricula), Nome (matricula),… :
Encontre a derivada de
Passo 1
Então, a gente tem uma função
que é contínua no intervalo
e, para todo
entre
e
, as primeiras derivadas de
existem e são positivas, ou seja,
e
. A gente quer achar a segunda derivada da função inversa de
, que é
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como encontrar a derivada da função inversa. Se
, então
. A derivada de
em relação a
é o inverso da derivada de
em relação a
. Isso é dado por:
Passo 3
Agora, queremos achar a segunda derivada de
, ou seja,
. Para isso, vamos derivar novamente
em relação a
. Usando a regra da cadeia, temos:
Passo 4
Vamos aplicar a regra do quociente na derivada acima. Primeiro, derivamos
em relação a
, e depois multiplicamos pela derivada de
em relação a
, que é
. Então:
Passo 5
Simplificando a expressão, temos:
Resposta
A segunda derivada da função inversa
é: