Pergunta: avaliar numericamente a integral dupla sobre R.
Passo 2
Ideia do método (sem complicar): como a função (x+2y) é contínua num retângulo, podemos trocar a integral dupla por uma integral iterada (Teorema de Fubini). Ou seja:
Vou calcular usando a ordem dy primeiro (é direto), e depois integrar em x.
Passo 3
Calcular a integral interior com respeito a y. Aqui x é tratado como constante quando integramos em y. A primitiva (antiderivada) de (x+2y) em relação a y é:
\int (x+2y)\,dy = x y + y^{2} + C,
porque \int x\,dy = x y (já que x é constante) e \int 2y\,dy = 2\cdot \tfrac{y^{2}}{2}=y^{2}.
Passo 4
Avaliar a primitiva entre y=0 e y=2:
\left. x y + y^{2} \right|_{y=0}^{y=2} = x\cdot 2 + 2^{2} - (x\cdot 0 + 0^{2}) = 2x + 4.
Assim a integral dupla ficou reduzida a uma integral única em x:
\iint_{R}(x+2y)\,dA = \int_{0}^{1} (2x+4)\,dx.
Passo 5
Calcular a integral em x. A primitiva de (2x+4) em relação a x é