Evaluate the double integral
\iint_{R}(x+2 y) d A
where
R=[0,1] \times[0,2] .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}(x+2y)\,dA
onde a região R é o retângulo
R = [0,1]\times[0,2].
Informações e o que é pedido:
  • Integrando: (x+2y).
  • Região: x varia de 0 a 1 e y varia de 0 a 2.
  • Pergunta: avaliar numericamente a integral dupla sobre R.

Passo 2

Ideia do método (sem complicar): como a função (x+2y) é contínua num retângulo, podemos trocar a integral dupla por uma integral iterada (Teorema de Fubini). Ou seja:
\iint_{R}(x+2y)\,dA = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{2}(x+2y)\,dy\right)dx = \int_{y=0}^{2}\left(\int_{x=0}^{1}(x+2y)\,dx\right)dy.
Vou calcular usando a ordem dy primeiro (é direto), e depois integrar em x.

Passo 3

Calcular a integral interior com respeito a y. Aqui x é tratado como constante quando integramos em y. A primitiva (antiderivada) de (x+2y) em relação a y é:
\int (x+2y)\,dy = x y + y^{2} + C,
porque \int x\,dy = x y (já que x é constante) e \int 2y\,dy = 2\cdot \tfrac{y^{2}}{2}=y^{2}.

Passo 4

Avaliar a primitiva entre y=0 e y=2:
\left. x y + y^{2} \right|_{y=0}^{y=2} = x\cdot 2 + 2^{2} - (x\cdot 0 + 0^{2}) = 2x + 4.
Assim a integral dupla ficou reduzida a uma integral única em x:
\iint_{R}(x+2y)\,dA = \int_{0}^{1} (2x+4)\,dx.

Passo 5

Calcular a integral em x. A primitiva de (2x+4) em relação a x é
\int (2x+4)\,dx = x^{2} + 4x + C,
pois \int 2x\,dx = x^{2} e \int 4\,dx = 4x.

Passo 6

Avaliar entre x=0 e x=1:
\left. x^{2} + 4x \right|_{0}^{1} = (1^{2} + 4\cdot 1) - (0 + 0) = 1 + 4 = 5.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, só para ganhar confiança): integrar primeiro em x
\int_{0}^{1}(x+2y)\,dx = \left.\tfrac{1}{2}x^{2}+2yx\right|_{0}^{1} = \tfrac{1}{2} + 2y,
depois em y:
\int_{0}^{2}\left(\tfrac{1}{2}+2y\right)\,dy = \left.\tfrac{1}{2}y + y^{2}\right|_{0}^{2} = 1 + 4 = 5,
mesmo resultado — perfeito.

Resposta

5

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