Evaluate the 2^{\text {nd }} derivative at the given point.
If f(x)=x \ln x, find f^{\prime \prime}(1).
[
\begin{aligned} & f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}+\ln x & f^{\prime \prime}(x)=-\frac{x}{x^{2}}+\frac{1}{x} & f^{\prime \prime}(x)=-\frac{1}{x}+\frac{1}{x} & f^{\prime \prime}(x)=0 \end{aligned}
]

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada de f no ponto x=1, onde f(x)=x\ln x. Para isso vamos usar a regra do produto para obter f'(x) e em seguida a derivada do logaritmo para achar f''(x), avaliando finalmente em x=1.

Passo 2

Aplicando a regra do produto e a derivada de \ln x, temos
f'(x)=\frac{d}{dx}[x]\cdot\ln x+x\cdot\frac{d}{dx}[\ln x]
f'(x)=1\cdot\ln x+x\cdot\frac{1}{x}=\ln x+1

Passo 3

Agora derivamos f'(x). Como \frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac{1}{x} e \frac{d}{dx}[1]=0, segue
f''(x)=\frac{d}{dx}[\ln x+1]=\frac{1}{x}

Passo 4

Para x=1, resulta
f''(1)=\frac{1}{1}=1

Resposta

f''(1)=1

Exercícios relacionados