If f(x)=3 \sqrt{x}-\frac{32}{x} , find f^{\prime \prime}(4).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=3\sqrt{x}-\frac{32}{x}
e pede o valor da segunda derivada em x=4. Vamos usar a regra do poder para derivar potências, isto é, se g(x)=x^n então g'(x)=n\,x^{n-1}.

Passo 2

Primeiro calculamos a primeira derivada f'(x). Reescrevendo em potências:
f(x)=3\,x^{\tfrac12}-32\,x^{-1}.
Aplicando a regra do poder em cada termo:
  • \tfrac{d}{dx}\bigl(3\,x^{\tfrac12}\bigr)=3\cdot\tfrac12\,x^{-\tfrac12}=\tfrac{3}{2}x^{-\tfrac12}.
  • \tfrac{d}{dx}\bigl(-32\,x^{-1}\bigr)=-32\cdot(-1)\,x^{-2}=32\,x^{-2}.
    Logo,
f'(x)=\frac{3}{2}x^{-\tfrac12}+32\,x^{-2}.

Passo 3

Agora derivamos f'(x) para obter f''(x):
  • \tfrac{d}{dx}\bigl(\tfrac{3}{2}x^{-\tfrac12}\bigr)=\tfrac{3}{2}\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)\,x^{-\tfrac32}=-\tfrac{3}{4}\,x^{-\tfrac32}.
  • \tfrac{d}{dx}\bigl(32\,x^{-2}\bigr)=32\cdot(-2)\,x^{-3}=-64\,x^{-3}.
    Portanto,
f''(x)=-\frac{3}{4}\,x^{-\tfrac32}-64\,x^{-3}.

Passo 4

Basta avaliar em x=4. Note que
4^{-\tfrac32}=(\sqrt{4})^{-3}=2^{-3}=\tfrac{1}{8}, \quad 4^{-3}=\tfrac{1}{64}.
Logo,
f''(4)=-\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{8}-64\cdot\frac{1}{64} =-\frac{3}{32}-1 =-\frac{35}{32}.

Resposta

f''(4)=-\frac{35}{32}.

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