If \frac{d y}{d x}=3 cos y+5 x\(, find\)\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\(at\)(2, \frac{\pi}{2})

Passo 1

O enunciado dá a derivada primeira \displaystyle \frac{dy}{dx}=3\cos y+5x
e pede a derivada segunda no ponto \bigl(x,y\bigr)=(2,\frac{\pi}{2}).
O conteúdo usado será diferenciação e regra da cadeia para derivar em relação a x.

Passo 2

Para obter a segunda derivada, diferencio em x a expressão de \frac{dy}{dx}. Por regra da cadeia,
\frac{d^2y}{dx^2} =\frac{d}{dx}\bigl(3\cos y+5x\bigr) =-3\sin y\;\frac{dy}{dx}+5.

Passo 3

Antes de avaliar, calculo \frac{dy}{dx} no ponto dado. Em \bigl(2,\tfrac{\pi}{2}\bigr) temos \cos\frac{\pi}{2}=0, logo
\frac{dy}{dx}\Big|_{(2,\frac{\pi}{2})} =3\cdot0+5\cdot2 =10.

Passo 4

Finalmente, substituo y=\frac{\pi}{2}, \sin\frac{\pi}{2}=1 e \frac{dy}{dx}=10 na fórmula da segunda derivada:
\frac{d^2y}{dx^2}\Big|_{(2,\frac{\pi}{2})} =-3\cdot1\cdot10+5 =-30+5 =-25.

Resposta

-25

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