Evemplo 2. Seja C o caminho z(t)=2 t+i 3 t, t in[1,2], orientado no sentido crescente de t e f(z)=z^2. Calculando integralC f(z) d z.
Temos que z^prime(t)=2+3 i.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado pede. A gente precisa calcular a integral de linha
integralC f(z),dz
onde
  • o caminho C é dado pela parametrização
z(t) = 2t + i,3t, tin[1,2],
e vai no sentido de t=1 até t=2;
  • a função é f(z)=z^2.
O conteúdo aqui é “integração de funções complexas por parametrização”. Para resolver, a gente vai usar:
  1. a fórmula integralC f(z),dz = integralt=1^2 fl(z(t)r),z'(t),dt,
  2. derivar z(t),
  3. calcular f(z(t)),
  4. montar o integrando e
  5. fazer a integral de t=1 a 2.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de z(t) e já escrevemos a forma geral da integral:
z(t) = 2t + i,3t Longrightarrow z'(t) = 2 + 3i
Então
dz = z'(t),dt = (2+3i),dt
e
integralC z^2,dz = integral1^2 l(z(t)r)^2 ,z'(t),dt

Passo 3

Agora achamos l(z(t)r)^2. Como
z(t) = 2t + i,3t = t,(2+3i),
temos
(z(t))^2 = l(t(2+3i)r)^2 = t^2,(2+3i)^2
E (2+3i)^2 é
(2+3i)^2 = 4 + 12i + 9i^2 = 4 + 12i - 9 = -5 + 12i
Logo
(z(t))^2 = (-5 + 12i),t^2

Passo 4

Agora montamos o integrando:
(z(t))^2,z'(t) = l(-5+12ir),t^2;times;(2+3i)
Multiplicando (-5+12i)(2+3i):
-5cdot2 + -5cdot3i + 12icdot2 + 12icdot3i = -10 -15i +24i +36i^2 = -10 +9i -36 = -46 +9i
Então o integrando fica
(-46+9i),t^2

Passo 5

Bora integrar de t=1 a t=2:
integral1^2 (-46+9i),t^2,dt = (-46+9i),integral1^2 t^2,dt = (-46+9i),l[tfract^33r]1^2 = (-46+9i),l(tfrac83-tfrac13r) = (-46+9i),tfrac73
Multiplicando:
(-46)tfrac73 + (9i)tfrac73 = -tfrac3223 + tfrac633,i = -tfrac3223 + 21,i

Resposta

boxedintegralC z^2,dz = -tfrac3223 ;+; 21,i

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