Questão 3 Usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha
ointC[e^x^2 d x+(x+z) d y+(2 x-z) d z]
onde C é o contorno do plano 2 x+y+z=4 que esta no primeiro octante, no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Stokes. A integral de linha que temos é:
ointC[e^x^2 , dx + (x + z) , dy + (2x - z) , dz]
Aqui, C é o contorno do plano 2x + y + z = 4 que está no primeiro octante, e a orientação é anti-horária. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva C com uma integral de superfície sobre uma superfície S que tem C como sua fronteira. Vamos seguir passo a passo para aplicar esse teorema e chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele nos diz que:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Onde:
  • F é um campo vetorial.
  • nabla times F é o rotacional de F .
  • n é o vetor normal à superfície S .
  • dS é o elemento de área da superfície.
No nosso caso, F = (e^x^2,, x + z,, 2x - z) .

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F , ou seja, nabla times F .
nabla times F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z e^x^2 & x + z & 2x - z
Calculando o determinante:
nabla times F = ( partialpartial y(2x - z) - partialpartial z(x + z) ) i - ( partialpartial x(2x - z) - partialpartial z(e^x^2) ) j + ( partialpartial x(x + z) - partialpartial y(e^x^2) ) k
Simplificando cada componente:
  • Componente i :
partialpartial y(2x - z) = 0 e partialpartial z(x + z) = 1
Então,
0 - 1 = -1
  • Componente j :
partialpartial x(2x - z) = 2 e partialpartial z(e^x^2) = 0
Então,
2 - 0 = 2
  • Componente k :
partialpartial x(x + z) = 1 e partialpartial y(e^x^2) = 0
Então,
1 - 0 = 1
Portanto,
nabla times F = (-1) i - (2) j + (1) k = ( -1, -2, 1 )

Passo 4

Agora, precisamos definir a superfície S sobre a qual vamos integrar. O contorno C é o contorno do plano 2x + y + z = 4 no primeiro octante. Isso forma um triângulo com vértices nos pontos onde o plano intercepta os eixos:
  • Quando y = 0 e z = 0 : 2x = 4 Rightarrow x = 2 Rightarrow Ponto A(2, 0, 0) .
  • Quando x = 0 e z = 0 : y = 4 Rightarrow Ponto B(0, 4, 0) .
  • Quando x = 0 e y = 0 : z = 4 Rightarrow Ponto C(0, 0, 4) .
Vamos parametrizar a superfície S . Podemos resolver a equação do plano para z :
z = 4 - 2x - y
Agora, precisamos determinar o vetor normal n à superfície. A equação do plano é 2x + y + z = 4 , então o vetor normal é n = (2, 1, 1) .
Como a orientação de C é anti-horária, o vetor normal deve apontar para fora do primeiro octante, então podemos usar n = (2, 1, 1) .

Passo 5

Vamos agora calcular a integral de superfície:
Primeiro, calculamos o produto escalar :
Agora, precisamos calcular . A área da superfície no plano no primeiro octante é o triângulo com vértices , e .
A área desse triângulo pode ser calculada usando a fórmula de área para triângulos no espaço. Mas como temos um plano plano, podemos simplificar. A área do triângulo é:
Podemos considerar, por exemplo, a base como a distância entre e :
A altura seria a distância de ao segmento . Mas uma forma mais fácil é calcular a área usando a norma do vetor normal.
Sabemos que a área do triângulo é:
Mas para simplificar, podemos usar a parametrização em e . O limite para é . Então, a integral fica:
Áâ
Vamos calcular a área do triângulo no primeiro octante. As interseções com os eixos são , e . Essas três pontos formam um triângulo cujos lados são nos eixos.
A área de um triângulo no espaço com vértices nos eixos pode ser calculada como:
Mas de forma mais simples, a área desse triângulo pode ser calculada usando as coordenadas:
Onde a base é a distância entre e :
E a altura é a distância de ao plano . Mas para simplificar, podemos calcular a área de um triângulo com vértices , , e :
Onde:
Calculando o produto vetorial:
A norma desse vetor é:
Então, a área do triângulo é:
Portanto, a integral de superfície é:

Resposta

A integral de linha vale aproximadamente -29.39.

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