Ex-01 (Força magnética sobre um fio retilíneo em campo uniforme) Um fio condutor fino de
\sqrt{\mathbf{2}} \mathbf{m} está disposto ao longo do eixo-x conduz uma corrente de \mathbf{2} A no sentido crescente do eixo. O campo magnético na região é \mathbf{B}=\mathbf{2} \mathbf{T} aplicado ao longo do eixo-z. Calcule a força magnética total sobre o fio utilizando o cálculo diferencial e integral.

Passo 1

O enunciado dá um fio retilíneo fino de comprimento \sqrt{2} m disposto ao longo do eixo x, percorrido por uma corrente I=2 A no sentido positivo de x. O campo magnético é uniforme e vale \mathbf{B}=2\,\hat{\mathbf{k}} T. Vamos usar a fórmula diferencial da força magnética
d\mathbf{F}=I\,d\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{B}
e integrar sobre todo o fio.

Passo 2

Escolhemos a parametrização do fio por x variando de 0 até \sqrt{2}. O elemento de comprimento vetorial é
d\boldsymbol{\ell}=dx\,\hat{\mathbf{i}}.

Passo 3

Substituindo em d\mathbf{F}:
d\mathbf{F} =I\,(dx\,\hat{\mathbf{i}})\times(2\,\hat{\mathbf{k}}) =2\cdot2\;dx\;(\hat{\mathbf{i}}\times\hat{\mathbf{k}}) =4\,dx\,(-\hat{\mathbf{j}}) =-4\,dx\,\hat{\mathbf{j}}.

Passo 4

Agora integramos de x=0 até x=\sqrt{2}:
\mathbf{F} =\int d\mathbf{F} =-4\int_{0}^{\sqrt{2}}dx\,\hat{\mathbf{j}} =-4\sqrt{2}\,\hat{\mathbf{j}}.

Resposta

A força magnética total sobre o fio é
\mathbf{F}=-4\sqrt{2}\,\hat{\mathbf{j}}\;\mathrm{N},
ou seja, de módulo 4\sqrt{2} N apontando no sentido negativo do eixo y.

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