Questão 4-Centro de massa e momento linear (2 pontos):
Bloco 1: As massas e as coordenadas dos centros de massa de três blocos de chocolate são dadas por: (1) 0,300 \mathrm{~kg}, ( x=0,200 \mathrm{~m}, y=0,300 \mathrm{m}); (2) 0,400 \mathrm{~kg},(x=0,100 \mathrm{~m}, y=0,400 \mathrm{~m}); (3) 0,200 \mathrm{~kg}, ( x=0,300 \mathrm{~m}, y=0,600 \mathrm{~m} ). Calcule as coordenadas do centro de massa do sistema constituído por esses três blocos de chocolate.
Bloco 2: Dois asteroides com massas m_{A} e m_{B} se movem com velocidades \overrightarrow{v_{A}} e \overrightarrow{v_{B}} em relação a um astrônomo que está em um veículo
espacial. Mostre que a energia cinética total medida pelo astrônomo é dada por:
K=\frac{1}{2} M v_{C M}^{2}+\frac{1}{2}\left(m_{A} v_{A}^{\prime 2}+m_{B} v_{B}^{\prime 2}\right)

Passo 1

O enunciado tem duas partes. A Parte 1 pede as coordenadas do centro de massa de três blocos com massas m_{1}=0,300, m_{2}=0,400 e m_{3}=0,200 kg e centros em (x_{1},y_{1})=(0,200;0,300), (x_{2},y_{2})=(0,100;0,400), (x_{3},y_{3})=(0,300;0,600) m. Vamos usar as fórmulas
x_{CM}=\frac{\sum m_{i}x_{i}}{\sum m_{i}}, \quad y_{CM}=\frac{\sum m_{i}y_{i}}{\sum m_{i}}.
A Parte 2 pede para mostrar que, para dois corpos A e B de massas m_{A} e m_{B} com velocidades \vec v_{A} e \vec v_{B}, a energia cinética total
K=\tfrac12\bigl(m_{A}v_{A}^{2}+m_{B}v_{B}^{2}\bigr)
pode ser decomposta em
K=\tfrac12\,M\,v_{CM}^{2}+\tfrac12\bigl(m_{A}v_{A}'^{2}+m_{B}v_{B}'^{2}\bigr),
onde M=m_{A}+m_{B}, \vec v_{CM} é a velocidade do centro de massa e \vec v_{i}'=\vec v_{i}-\vec v_{CM}.

Passo 2

Para a Parte 1, primeiro calculamos a massa total
M=m_{1}+m_{2}+m_{3}=0,300+0,400+0,200=0,900\text{ kg},
e escrevemos as somas ponderadas:
\sum m_{i}x_{i}=0,300\cdot0,200+0,400\cdot0,100+0,200\cdot0,300, \quad \sum m_{i}y_{i}=0,300\cdot0,300+0,400\cdot0,400+0,200\cdot0,600.

Passo 3

Ainda na Parte 1, fazemos as contas:
\sum m_{i}x_{i}=0,060+0,040+0,060=0,160, \quad \sum m_{i}y_{i}=0,090+0,160+0,120=0,370.
Logo,
x_{CM}=\frac{0,160}{0,900}\approx0,178\text{ m}, \quad y_{CM}=\frac{0,370}{0,900}\approx0,411\text{ m}.

Passo 4

Para a Parte 2, definimos a velocidade do centro de massa
\vec v_{CM}=\frac{m_{A}\vec v_{A}+m_{B}\vec v_{B}}{M}
e as velocidades relativas
\vec v_{A}'=\vec v_{A}-\vec v_{CM}, \quad \vec v_{B}'=\vec v_{B}-\vec v_{CM}.
A energia cinética total é
K=\tfrac12\,m_{A}v_{A}^{2}+\tfrac12\,m_{B}v_{B}^{2}.

Passo 5

Substituímos \vec v_{i}=\vec v_{CM}+\vec v_{i}' em cada termo de K:
K=\tfrac12\,m_{A}(\vec v_{CM}+\vec v_{A}')^{2} +\tfrac12\,m_{B}(\vec v_{CM}+\vec v_{B}')^{2}.
Expandindo o quadrado:
(\vec v_{CM}+\vec v_{i}')^{2}=v_{CM}^{2}+2\,\vec v_{CM}\cdot\vec v_{i}'+v_{i}'^{2}.

Passo 6

Agrupando os termos em K obtém-se
K=\tfrac12\,M\,v_{CM}^{2} +\bigl(m_{A}\vec v_{CM}\cdot\vec v_{A}'+m_{B}\vec v_{CM}\cdot\vec v_{B}'\bigr) +\tfrac12\bigl(m_{A}v_{A}'^{2}+m_{B}v_{B}'^{2}\bigr).
Mas, pela definição de \vec v_{CM}, vale \;m_{A}\vec v_{A}'+m_{B}\vec v_{B}'=0,
logo o termo cruzado some.

Passo 7

Com isso chegamos à fórmula desejada:
K=\tfrac12\,M\,v_{CM}^{2}+\tfrac12\bigl(m_{A}v_{A}'^{2}+m_{B}v_{B}'^{2}\bigr).

Resposta

Parte 1:
x_{CM}\approx0,178\text{ m}, \quad y_{CM}\approx0,411\text{ m}.
Parte 2:
K=\tfrac12\,M\,v_{CM}^{2}+\tfrac12\bigl(m_{A}v_{A}'^{2}+m_{B}v_{B}'^{2}\bigr),
com M=m_{A}+m_{B} e \vec v_{i}'=\vec v_{i}-\vec v_{CM}.

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