Ex. 10) Calcule
onde
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede: calcular
A^11 para a matriz
Aqui vamos usar a ideia de que, para matrizes diagonalizáveis, podemos escrever
A^n como combinação linear de
I,,A e
A^2 .
Passo 2
Para aplicar essa técnica, primeiro obtemos o polinômio característico de
A . Calculando
det(A-lambda I) achamos
Ou seja, os autovalores são
lambda1=1, lambda2=-1, lambda3=-2 , todos distintos.
Passo 3
Como temos três autovalores distintos, sabemos que existe uma expressão do tipo
Para achar
c1,c2,c3 , usamos que, em cada autovalor
lambda , vale
Passo 4
Escrevendo essas igualdades para
n=11 e cada autovalor:
Resolvendo esse sistema encontramos
Passo 5
Agora, calculamos
A^2 para depois montar
A^11 . Multiplicando
A por si mesma dá
Passo 6
Finalmente, usamos
Fazendo as somas de matrizes termo a termo chegamos ao resultado abaixo.
Resposta
[\
A^{11} = \begin{pmatrix}
-1 & 10237 & -2047 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 10245 & -2048
\end{pmatrix}
]
A^{11} = \begin{pmatrix}
-1 & 10237 & -2047 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 10245 & -2048
\end{pmatrix}
]