Ex. 10) Calcule A^11 onde ccc-1 & 7 & -1 0 & 1 & 0 0 & 15 & -2

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede: calcular A^11 para a matriz
A=-1 & 7 & -1 0 & 1 & 0 0 & 15 & -2
Aqui vamos usar a ideia de que, para matrizes diagonalizáveis, podemos escrever A^n como combinação linear de I,,A e A^2.

Passo 2

Para aplicar essa técnica, primeiro obtemos o polinômio característico de A. Calculando det(A-lambda I) achamos
chiA(lambda)=-(lambda+1)(lambda+2)(lambda-1)
Ou seja, os autovalores são lambda1=1, lambda2=-1, lambda3=-2, todos distintos.

Passo 3

Como temos três autovalores distintos, sabemos que existe uma expressão do tipo
A^n = c1A^2 + c2A + c3I
Para achar c1,c2,c3, usamos que, em cada autovalor lambda, vale
lambda^n = c1lambda^2 + c2lambda + c3

Passo 4

Escrevendo essas igualdades para n=11 e cada autovalor:
1^11=1 = c1 + c2 + c3, (-1)^11=-1 = c1 - c2 + c3, (-2)^11=-2048 = 4c1 -2c2 + c3
Resolvendo esse sistema encontramos
c1=-682, c2=1, c3=682

Passo 5

Agora, calculamos A^2 para depois montar A^11. Multiplicando A por si mesma dá
A^2=1 & -15 & 3 0 & 1 & 0 0 & -15 & 4

Passo 6

Finalmente, usamos
A^11 = -682,A^2 + 1,A + 682,I
Fazendo as somas de matrizes termo a termo chegamos ao resultado abaixo.

Resposta

[\
A^{11} = \begin{pmatrix}
-1 & 10237 & -2047 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 10245 & -2048
\end{pmatrix}
]

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