Provar que a familia E=f: R R é l.i. em .

Passo 1

A questão pede para mostrar que as funções f₁(x)=1, f₂(x)=eˣ e f₃(x)=e²ˣ são linearmente independentes em E. O conteúdo aqui é independência linear em espaços de funções e vamos usar a definição que diz: se a combinação linear a·f₁(x)+b·f₂(x)+c·f₃(x) é a função zero para todo x, então os coeficientes a,b,c devem ser todos zero.

Passo 2

Começamos assumindo que existe combinação linear nula: para todo x ∈ ℝ vale a + b e^x + c e^2x = 0. Queremos mostrar que a=b=c=0.

Passo 3

Tomando o limite quando x→−∞, temos eˣ→0 e e²ˣ→0, logo no limite sobra a = 0.

Passo 4

Com a=0 a identidade vira b e^x + c e^2x = 0 para todo x. Dividindo por eˣ (que nunca é zero) obtemos b + c e^x = 0 para todo x. De novo, ao levar x→−∞, eˣ→0 e segue b = 0.

Passo 5

Agora com a=0 e b=0, a combinação original reduz a c e^2x = 0 para todo x. Como e²ˣ≠0, isso obriga c = 0.

Passo 6

Como a, b e c são obrigatoriamente zero, concluímos que a única combinação linear que dá a função zero é a trivial. Portanto, as funções 1, eˣ e e²ˣ são linearmente independentes.

Resposta

As únicas soluções para a + b eˣ + c e²ˣ = 0 em ℝ são a = b = c = 0, logo a família é linearmente independente.

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