Provar que a familia
é l.i. em
.
Passo 1
A questão pede para mostrar que as funções f₁(x)=1, f₂(x)=eˣ e f₃(x)=e²ˣ são linearmente independentes em E. O conteúdo aqui é independência linear em espaços de funções e vamos usar a definição que diz: se a combinação linear a·f₁(x)+b·f₂(x)+c·f₃(x) é a função zero para todo x, então os coeficientes a,b,c devem ser todos zero.
Passo 2
Começamos assumindo que existe combinação linear nula: para todo x ∈ ℝ vale
. Queremos mostrar que
.
Passo 3
Tomando o limite quando x→−∞, temos eˣ→0 e e²ˣ→0, logo no limite sobra
.
Passo 4
Com a=0 a identidade vira
para todo x. Dividindo por eˣ (que nunca é zero) obtemos
para todo x. De novo, ao levar x→−∞, eˣ→0 e segue
.
Passo 5
Agora com a=0 e b=0, a combinação original reduz a
para todo x. Como e²ˣ≠0, isso obriga
.
Passo 6
Como a, b e c são obrigatoriamente zero, concluímos que a única combinação linear que dá a função zero é a trivial. Portanto, as funções 1, eˣ e e²ˣ são linearmente independentes.
Resposta
As únicas soluções para a + b eˣ + c e²ˣ = 0 em ℝ são a = b = c = 0, logo a família é linearmente independente.