Ex. 11) Calcule
onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular
A^2019 , onde
O conteúdo envolve potências de matrizes triangulares superiores e vamos usar recorrências para os elementos fora da diagonal.
Passo 2
Como
A é triangular superior, sua potência
A^n também será triangular superior. Logo podemos escrever:
Nosso objetivo agora é achar as fórmulas para
an e
bn .
Passo 3
Para obter as recorrências, multiplicamos
A^n por
A e comparamos com
A^n+1 :
Da multiplicação, vemos que
e a parte diagonal satisfaz
(-1)^n+1 = -(-1)^n) .
Passo 4
Resolvendo a recorrência para
an :
A solução geral é
an = -1 + C(-1)^n . Como
a1 = -2 , obtemos
logo
Passo 5
Para
bn , a recorrência é
A solução geral é
bn = 4 + D(-1)^n . Como
b1 = 8 , temos
portanto
Passo 6
Como
2019 é ímpar,
(-1)^2019 = -1 . Então
e a diagonal vale
(-1)^2019 = -1 . Assim obtemos todos os elementos de
A^2019 .