Ex. 11) Calcule A^2019 onde ccc1 & -2 & 8 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1

Passo 1

O enunciado pede para calcular A^2019, onde
A=1 & -2 & 8 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1
O conteúdo envolve potências de matrizes triangulares superiores e vamos usar recorrências para os elementos fora da diagonal.

Passo 2

Como A é triangular superior, sua potência A^n também será triangular superior. Logo podemos escrever:
A^n = 1 & an & bn 0 & (-1)^n & 0 0 & 0 & (-1)^n
Nosso objetivo agora é achar as fórmulas para an e bn.

Passo 3

Para obter as recorrências, multiplicamos A^n por A e comparamos com A^n+1:
A^n+1 = A^n,A = 1 & an & bn 0 & (-1)^n & 0 0 & 0 & (-1)^n 1 & -2 & 8 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1
Da multiplicação, vemos que
an+1 = -2 - an, bn+1 = 8 - bn,
e a parte diagonal satisfaz (-1)^n+1 = -(-1)^n).

Passo 4

Resolvendo a recorrência para an:
an+1 + an = -2
A solução geral é an = -1 + C(-1)^n. Como a1 = -2, obtemos
-2 = -1 + C(-1)^1 implies C = 1,
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an = -1 + (-1)^n

Passo 5

Para bn, a recorrência é
bn+1 + bn = 8
A solução geral é bn = 4 + D(-1)^n. Como b1 = 8, temos
8 = 4 + D(-1)^1 implies D = -4,
portanto
bn = 4 - 4(-1)^n

Passo 6

Como 2019 é ímpar, (-1)^2019 = -1. Então
a2019 = -1 + (-1)^2019 = -2, b2019 = 4 - 4(-1)^2019 = 8,
e a diagonal vale (-1)^2019 = -1. Assim obtemos todos os elementos de A^2019.

Resposta

A^2019 = 1 & -2 & 8 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1

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