Seja
e seja
fixo. Definimos para
Provar que esses polinômios são l.i.
Passo 1
O enunciado pede pra gente mostrar que os polinômios P₀,P₁,P₂,P₃ em E=ℝ₃[X], definidos por Pₖ(x)=(x−a)ᵏ com k=0,1,2,3, são linearmente independentes. Isso é um problema de espaço vetorial de polinômios de grau ≤3, usando a definição de independência linear (uma combinação linear nula só admite a solução trivial).
Passo 2
Suponha que exista uma combinação linear nula: seja c₀,c₁,c₂,c₃ ∈ ℝ tais que
$$
c₀P₀(x)+c₁P₁(x)+c₂P₂(x)+c₃P₃(x)=0
c₀ + c₁(x−a) + c₂(x−a)² + c₃(x−a)³ = 0$$
como polinômio identicamente nulo.
como polinômio identicamente nulo.
Passo 3
Avalie essa identidade em x=a. Como (a−a)=0, todos os termos que envolvem (x−a) desaparecem, sobrando
$$
c₀ = 0.$$
Isso nos dá c₀=0.
Isso nos dá c₀=0.
Passo 4
Com c₀=0, a identidade vira
$$
c₁(x−a) + c₂(x−a)² + c₃(x−a)³ = 0.
(x−a)(c₁ + c₂(x−a) + c₃(x−a)²\bigr)=0
$$
para todo x. Como um polinômio só é zero em todos os x se todos os coeficientes do fator interno forem zero, definimos Q(x)=c₁ + c₂(x−a) + c₃(x−a)² e temos Q(x)=0.
para todo x. Como um polinômio só é zero em todos os x se todos os coeficientes do fator interno forem zero, definimos Q(x)=c₁ + c₂(x−a) + c₃(x−a)² e temos Q(x)=0.
Passo 5
Avalie Q em x=a: Q(a)=c₁=0. Agora Q(x) fica
$$
c₂(x−a) + c₃(x−a)² = 0$$
fatorando (x−a) novamente e chamando o fator interno de R(x)=c₂ + c₃(x−a), concluímos que R(x)=0.
fatorando (x−a) novamente e chamando o fator interno de R(x)=c₂ + c₃(x−a), concluímos que R(x)=0.
Passo 6
Avalie R em x=a: R(a)=c₂=0. Então R(x)=c₃(x−a)=0 como polinômio. O único escalar que faz isso é c₃=0. Portanto c₀=c₁=c₂=c₃=0 e a combinação linear trivial é a única possível.
Resposta
Como a única combinação linear que dá o polinômio zero é com c₀=c₁=c₂=c₃=0, concluímos que {P₀,P₁,P₂,P₃} é linearmente independente em ℝ₃[X].