Seja E=R3[X] e seja a in R fixo. Definimos para k=0,1,2,3
Pk(x)=(x-a)^k
Provar que esses polinômios são l.i.

Passo 1

O enunciado pede pra gente mostrar que os polinômios P₀,P₁,P₂,P₃ em E=ℝ₃[X], definidos por Pₖ(x)=(x−a)ᵏ com k=0,1,2,3, são linearmente independentes. Isso é um problema de espaço vetorial de polinômios de grau ≤3, usando a definição de independência linear (uma combinação linear nula só admite a solução trivial).

Passo 2

Suponha que exista uma combinação linear nula: seja c₀,c₁,c₂,c₃ ∈ ℝ tais que
$$
c₀P₀(x)+c₁P₁(x)+c₂P₂(x)+c₃P₃(x)=0 c₀P₀(x)+c₁P₁(x)+c₂P₂(x)+c₃P₃(x)=0
c₀ + c₁(x−a) + c₂(x−a)² + c₃(x−a)³ = 0$$
como polinômio identicamente nulo.

Passo 3

Avalie essa identidade em x=a. Como (a−a)=0, todos os termos que envolvem (x−a) desaparecem, sobrando
$$
c₀ = 0.$$
Isso nos dá c₀=0.

Passo 4

Com c₀=0, a identidade vira
$$
c₁(x−a) + c₂(x−a)² + c₃(x−a)³ = 0. c₁(x−a) + c₂(x−a)² + c₃(x−a)³ = 0
(x−a)(c₁ + c₂(x−a) + c₃(x−a)²\bigr)=0
$$
para todo x. Como um polinômio só é zero em todos os x se todos os coeficientes do fator interno forem zero, definimos Q(x)=c₁ + c₂(x−a) + c₃(x−a)² e temos Q(x)=0.

Passo 5

Avalie Q em x=a: Q(a)=c₁=0. Agora Q(x) fica
$$
c₂(x−a) + c₃(x−a)² = 0$$
fatorando (x−a) novamente e chamando o fator interno de R(x)=c₂ + c₃(x−a), concluímos que R(x)=0.

Passo 6

Avalie R em x=a: R(a)=c₂=0. Então R(x)=c₃(x−a)=0 como polinômio. O único escalar que faz isso é c₃=0. Portanto c₀=c₁=c₂=c₃=0 e a combinação linear trivial é a única possível.

Resposta

Como a única combinação linear que dá o polinômio zero é com c₀=c₁=c₂=c₃=0, concluímos que {P₀,P₁,P₂,P₃} é linearmente independente em ℝ₃[X].

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