Ex 10) \int\left(2 x^{3}+1\right)^{7} x^{2} d x=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int (2x^{3}+1)^{7}\,x^{2}\,dx.
O conteúdo aqui é a técnica de substituição, que serve para lidar com integrais da forma \int f(g(x))\,g'(x)\,dx.

Passo 2

Vamos escolher
u = 2x^{3} + 1,
para que o interior da potência vire u. Derivando, temos
du = 6x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{1}{6}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original:
\int (2x^{3}+1)^{7}\,x^{2}\,dx = \int u^{7}\,\frac{1}{6}\,du = \frac{1}{6}\,\int u^{7}\,du.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do polinômio \int u^{n}\,du = u^{n+1}/(n+1):
\frac{1}{6}\,\int u^{7}\,du = \frac{1}{6}\,\cdot\frac{u^{8}}{8} = \frac{u^{8}}{48}.

Passo 5

Por fim, voltamos à variável x usando u=2x^{3}+1:
\int (2x^{3}+1)^{7}\,x^{2}\,dx = \frac{(2x^{3}+1)^{8}}{48} + C.

Resposta

\frac{(2x^{3}+1)^{8}}{48} + C

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