Questão 1: \qquad Encontre a
A meia-vida da Césio-137 é de 30 anos.Suponha que tenhamos uma amostra de 200 mg massa que restará apos t anos.Depois de quanto tempo teremos apenas 5 mg da amostra?

Passo 1

O enunciado diz que a meia-vida do Césio-137 é de 30 anos e que começamos com uma amostra de 200 mg. Precisamos usar o modelo de decaimento radioativo, que é uma função exponencial, para determinar o tempo t em que a massa restante será 5 mg.

Passo 2

No decaimento radioativo, a massa m(t) após t anos segue
m(t) = m_0 e^{-k t},
onde m_0 é a massa inicial e k é a constante de decaimento. Alternativamente, usando a meia-vida T, temos
m(t) = m_0 \,2^{-t/T}.

Passo 3

Como a meia-vida é T=30 anos, a constante k satisfaz
e^{-kT} = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{\ln 2}{T} = \frac{\ln 2}{30}.

Passo 4

Queremos m(t)=5 mg partindo de m_0=200 mg. Usando
5 = 200\,e^{-k t}
temos
e^{-k t} = \frac{5}{200} = \frac{1}{40} \quad\Longrightarrow\quad -k t = \ln\!\Bigl(\tfrac1{40}\Bigr) = -\ln 40
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t = \frac{\ln 40}{k}.

Passo 5

Substituindo k = \tfrac{\ln 2}{30},
t = \frac{\ln 40}{\ln 2/30} = 30 \,\frac{\ln 40}{\ln 2} \approx 30 \times 5{,}322 \approx 159{,}7\text{ anos}.

Resposta

Aproximadamente 160 anos.

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