Questão 2: \qquad indutor de 0,05 H é alimentado por uma tensão
Um circuito RL com um resistor de 2 \Omega e un C(t)=\operatorname{sen}(50 t) Volts.Se a corrente inicial no circuito é zero,determine a corrente i(t) em qualquer instante de tempo t

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série RL com um indutor de L=0,05\;\mathrm H e um resistor de R=2\;\Omega, alimentado por uma tensão v(t)=\operatorname{sen}(50t) volts. A corrente inicial é i(0)=0.
Conteúdo: resolução de equação diferencial linear de 1.º ordem do tipo
L\,\frac{di}{dt}+R\,i=v(t).

Passo 2

Escrevendo a equação diferencial em forma padrão, dividimos tudo por L=0,05:
\frac{di}{dt}+\frac{R}{L}\,i=\frac{1}{L}\,\operatorname{sen}(50t) \quad\Longrightarrow\quad \frac{di}{dt}+40\,i=20\,\operatorname{sen}(50t).

Passo 3

Primeiro achamos a solução homogênea v(t)=0, resolvendo
\frac{di_h}{dt}+40\,i_h=0 \quad\Longrightarrow\quad i_h(t)=K\,e^{-40t},
onde K é constante a determinar pela condição inicial.

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular i_p(t) do tipo senoidal. Assumimos
i_p(t)=A\,\operatorname{sen}(50t)+B\,\cos(50t).
Então
\frac{di_p}{dt}=50A\,\cos(50t)-50B\,\operatorname{sen}(50t).
Substituindo em \frac{di}{dt}+40i=20\operatorname{sen}(50t), obtemos
\bigl(50A+40B\bigr)\cos(50t) -\bigl(50B-40A\bigr)\operatorname{sen}(50t) =20\,\operatorname{sen}(50t).

Passo 5

Igualando coeficientes de \cos(50t)\) e \(\operatorname{sen}(50t)\): \[\begin{cases} 50A+40B=0,\\\\ -(50B-40A)=20\;\Longrightarrow\;40A-50B=20. \end{cases}
Da primeira (A=-\tfrac{40}{50}B=-\tfrac{4}{5}B]. Substituindo na segunda:
40\bigl(-\tfrac{4}{5}B\bigr)-50B=20 \;\Longrightarrow\; -32B-50B=20 \;\Longrightarrow\; B=-\tfrac{10}{41}, \;\; A=\tfrac{8}{41}.
Logo
i_p(t)=\frac{8}{41}\operatorname{sen}(50t)-\frac{10}{41}\cos(50t).

Passo 6

A solução geral é
i(t)=i_h(t)+i_p(t) =K\,e^{-40t}+\frac{8}{41}\operatorname{sen}(50t)-\frac{10}{41}\cos(50t).

Passo 7

Aplicando i(0)=0:
0=K+\frac{8}{41}\operatorname{sen}(0)-\frac{10}{41}\cos(0) \;=\;K-\frac{10}{41} \quad\Longrightarrow\quad K=\frac{10}{41}.
Portanto
i(t) =\frac{10}{41}\,e^{-40t} +\frac{8}{41}\operatorname{sen}(50t) -\frac{10}{41}\cos(50t).

Resposta

i(t) =\frac{10}{41}\,e^{-40t} +\frac{8}{41}\operatorname{sen}(50t) -\frac{10}{41}\cos(50t).

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