Ex.6.Mostre que
G=\left\{\left(\begin{array}{cc} \cos \theta & -\operatorname{sen} \theta \\\ \operatorname{sen} \theta & \cos \theta \end{array}\right): \theta \in \mathbb{R}\right\}
munido com a operação de multiplicação de matrizes é um grupo.(Este grupo é usualmente denotado por S O(2) ,e denominado o grupo especial ortogonal de ordem 2.)Mostre que
H=\left\{\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 0 & -1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\\\ 0 & -1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\\\ -1 & 0 \end{array}\right)\right\}
é um subgrupo de ordem 4 ,isomorfo a \mathbb{Z}_{4}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Mostrar que G=\left\{\displaystyle\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}:\theta\in\mathbb{R}\right\} com a operação de multiplicação de matrizes é um grupo.
  • Mostrar que
H=\left\{\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0&-1\\[4pt]1&0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}-1&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0&1\\[4pt]-1&0\end{pmatrix}\right\}
é um subgrupo de ordem 4 e que H é isomorfo a \mathbb{Z}_4.
Informações relevantes dadas:
  • Cada elemento de G é a matriz de rotação R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.
  • Em H aparecem exatamente as matrizes R(0),R(\tfrac{\pi}{2}),R(\pi),R(\tfrac{3\pi}{2}) (isto será verificado e usado).]

Passo 2

Provar fechamento de G (produto de duas rotações é outra rotação).
Sejam \alpha,\beta\in\mathbb{R} e considere R(\alpha) e R(\beta) em G. Calcule o produto:
R(\alpha)R(\beta) = \begin{pmatrix}\cos\alpha & -\sin\alpha\\[4pt]\sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos\beta & -\sin\beta\\[4pt]\sin\beta & \cos\beta\end{pmatrix}.
Fazendo a multiplicação de matrizes termo a termo (linha por coluna):
R(\alpha)R(\beta) = \begin{pmatrix} \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta & -\big(\cos\alpha\sin\beta + \sin\alpha\cos\beta\big)\\[6pt] \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta & -\sin\alpha\sin\beta + \cos\alpha\cos\beta \end{pmatrix}.
Usamos agora as fórmulas de adição para seno e cosseno:
\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta, \qquad \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta.
Substituindo, obtém-se
R(\alpha)R(\beta)= \begin{pmatrix}\cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta)\\[4pt]\sin(\alpha+\beta) & \cos(\alpha+\beta)\end{pmatrix} =R(\alpha+\beta).
Como \alpha+\beta\in\mathbb{R}, o produto pertence a G. Logo G é fechado.]

Passo 3

Existência da identidade em G.
Tome \theta=0. A matriz
R(0)=\begin{pmatrix}\cos 0 & -\sin 0\\[4pt]\sin 0 & \cos 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}=I
é a identidade para a multiplicação de matrizes. Para qualquer R(\theta)\in G,
R(0)R(\theta)=R(0+\theta)=R(\theta), \qquad R(\theta)R(0)=R(\theta+0)=R(\theta).
Portanto I\in G é a identidade.]

Passo 4

Existência do inverso de cada elemento de G.
Para R(\theta)\in G consideremos R(-\theta). Usando o resultado do passo 2,
R(\theta)R(-\theta)=R(\theta+(-\theta))=R(0)=I,
e semelhantemente R(-\theta)R(\theta)=I. Assim R(-\theta) é o inverso de R(\theta) e pertence a G. Logo todo elemento tem inverso em G.

Passo 5

Associatividade.
A associatividade é satisfeita porque é uma propriedade da multiplicação de matrizes: para quaisquer matrizes quadradas A,B,C tem-se (AB)C=A(BC). Como os elementos de G são matrizes 2\times2, a operação é associativa em G automaticamente.

Passo 6

Conclusão: G é um grupo.
Reunindo os passos anteriores: fechamento (Passo 2), identidade (Passo 3), inversos (Passo 4) e associatividade (Passo 5) mostram que G com multiplicação de matrizes é um grupo. Observação extra (útil na prova): cada R(\theta) tem \det R(\theta)=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1, por isso essas matrizes são ortogonais de determinante 1, daí a notação SO(2).

Passo 7

Mostrar que H é subgrupo de ordem 4.
Primeiro verificar que as quatro matrizes de H são elementos de G. Note que
\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}=R(0),\qquad \begin{pmatrix}0&-1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}=R\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big),\qquad \begin{pmatrix}-1&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix}=R(\pi),\qquad \begin{pmatrix}0&1\\[4pt]-1&0\end{pmatrix}=R\!\big(\tfrac{3\pi}{2}\big).
Portanto H\subseteq G.
Usa-se um teste de subgrupo prático: um subconjunto não vazio de um grupo é subgrupo se for fechado sob produto e inverso. Como H é gerado pelas potências de R(\tfrac{\pi}{2}), calcule:
R\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)^0=R(0)=I,\quad R\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)^1=R\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big),\quad R\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)^2=R(\pi)= -I,\quad R\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)^3=R\!\big(\tfrac{3\pi}{2}\big),\quad R\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)^4=R(2\pi)=I.
Dessa forma H=\langle R(\tfrac{\pi}{2})\rangle é o subgrupo cíclico gerado por R(\tfrac{\pi}{2}). Os quatro elementos acima são todos distintos (por exemplo, os ângulos 0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2} não são congruentes módulo 2\pi entre si), e o quarto poder volta à identidade, então H tem exatamente 4 elementos. Como as potências fecham H e cada potência tem inverso (a potência negativa), H é subgrupo de G e tem ordem 4.]

Passo 8

Mostrar que H é isomorfo a \mathbb{Z}_4.
Defina a aplicação
\varphi:\mathbb{Z}_4\longrightarrow H,\qquad \varphi([k])=R\!\big(\tfrac{k\pi}{2}\big),
onde [k] é a classe de k em \mathbb{Z}_4 (adição módulo 4). Primeiro verifique que \varphi é bem definida: se [a]=[b] então a\equiv b\pmod 4 e \tfrac{a\pi}{2}\equiv\tfrac{b\pi}{2}\pmod{2\pi}, logo R(\tfrac{a\pi}{2})=R(\tfrac{b\pi}{2}).
Homomorfismo: para quaisquer [a],[b]\in\mathbb{Z}_4,
\varphi([a]+[b])=\varphi([a+b])=R\!\big(\tfrac{(a+b)\pi}{2}\big)=R\!\big(\tfrac{a\pi}{2}\big)R\!\big(\tfrac{b\pi}{2}\big)=\varphi([a])\varphi([b]),
onde usamos a propriedade R(\alpha+\beta)=R(\alpha)R(\beta) do Passo 2. Assim \varphi é homomorfismo.
Injetividade/ bijetividade: o núcleo de \varphi é
\ker\varphi=\{[k]\in\mathbb{Z}_4:\varphi([k])=I\}=\{[k]:R\!\big(\tfrac{k\pi}{2}\big)=R(0)\}.
Isto ocorre exatamente quando \tfrac{k\pi}{2}\equiv 0\pmod{2\pi}, ou seja, quando k\equiv 0\pmod 4. Logo \ker\varphi=\{[0]\}, o que mostra que \varphi é injetora. Como \mathbb{Z}_4 e H têm o mesmo número finito de elementos (ambos têm ordem 4), injetividade implica bijetividade. Portanto \varphi é um isomorfismo de grupos.

Resposta

G é um grupo (o grupo SO(2)).
H é um subgrupo de G com |H|=4 e H\cong\mathbb{Z}_4.

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