munido com a operação de multiplicação de matrizes é um grupo.(Este grupo é usualmente denotado por S O(2) ,e denominado o grupo especial ortogonal de ordem 2.)Mostre que
é um subgrupo de ordem 4 ,isomorfo a \mathbb{Z}_{4} .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
Mostrar que G=\left\{\displaystyle\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}:\theta\in\mathbb{R}\right\} com a operação de multiplicação de matrizes é um grupo.
Para R(\theta)\in G consideremos R(-\theta). Usando o resultado do passo 2,
R(\theta)R(-\theta)=R(\theta+(-\theta))=R(0)=I,
e semelhantemente R(-\theta)R(\theta)=I. Assim R(-\theta) é o inverso de R(\theta) e pertence a G. Logo todo elemento tem inverso em G.
Passo 5
Associatividade.
A associatividade é satisfeita porque é uma propriedade da multiplicação de matrizes: para quaisquer matrizes quadradas A,B,C tem-se (AB)C=A(BC). Como os elementos de G são matrizes 2\times2, a operação é associativa em G automaticamente.
Passo 6
Conclusão: G é um grupo.
Reunindo os passos anteriores: fechamento (Passo 2), identidade (Passo 3), inversos (Passo 4) e associatividade (Passo 5) mostram que G com multiplicação de matrizes é um grupo. Observação extra (útil na prova): cada R(\theta) tem \det R(\theta)=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1, por isso essas matrizes são ortogonais de determinante 1, daí a notação SO(2).
Passo 7
Mostrar que H é subgrupo de ordem 4.
Primeiro verificar que as quatro matrizes de H são elementos de G. Note que
Usa-se um teste de subgrupo prático: um subconjunto não vazio de um grupo é subgrupo se for fechado sob produto e inverso. Como H é gerado pelas potências de R(\tfrac{\pi}{2}), calcule:
Dessa forma H=\langle R(\tfrac{\pi}{2})\rangle é o subgrupo cíclico gerado por R(\tfrac{\pi}{2}). Os quatro elementos acima são todos distintos (por exemplo, os ângulos 0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2} não são congruentes módulo 2\pi entre si), e o quarto poder volta à identidade, então H tem exatamente 4 elementos. Como as potências fecham H e cada potência tem inverso (a potência negativa), H é subgrupo de G e tem ordem 4.]
onde [k] é a classe de k em \mathbb{Z}_4 (adição módulo 4). Primeiro verifique que \varphi é bem definida: se [a]=[b] então a\equiv b\pmod 4 e \tfrac{a\pi}{2}\equiv\tfrac{b\pi}{2}\pmod{2\pi}, logo R(\tfrac{a\pi}{2})=R(\tfrac{b\pi}{2}).
Homomorfismo: para quaisquer [a],[b]\in\mathbb{Z}_4,
Isto ocorre exatamente quando \tfrac{k\pi}{2}\equiv 0\pmod{2\pi}, ou seja, quando k\equiv 0\pmod 4. Logo \ker\varphi=\{[0]\}, o que mostra que \varphi é injetora. Como \mathbb{Z}_4 e H têm o mesmo número finito de elementos (ambos têm ordem 4), injetividade implica bijetividade. Portanto \varphi é um isomorfismo de grupos.
Resposta
G é um grupo (o grupo SO(2)). H é um subgrupo de G com |H|=4 e H\cong\mathbb{Z}_4.