Ex.7.O grupo(aditivo) \mathbb{Z}_{5} possui algum subgrupo próprio além de \{0\} ? \mathrm{E} \mathbb{Z}_{p} ,para p primo? Existem grupos infinitos com esta propriedade?
Passo 1
O enunciado faz três perguntas claras:
O grupo aditivo \mathbb{Z}_{5} possui algum subgrupo próprio além de \{0\}?
E \mathbb{Z}_{p} quando p é primo, qual é a situação?
Existem grupos infinitos com a propriedade de não terem subgrupos próprios além de \{e\} (no caso aditivo, \{0\})?
Informações implícitas importantes que vamos usar:
\mathbb{Z}_{n} é o grupo cíclico (aditivo) das classes modulares \{ \bar{0},\bar{1},\dots,\overline{n-1}\} com ordem n.
Quando o enunciado diz “subgrupo próprio além de \{0\}” quer dizer subgrupo H tal que \{0\}\subsetneq H \subsetneq \mathbb{Z}_n.
Passo 2
Teorema-chave (fácil e muito usado): todo subgrupo de um grupo cíclico é cíclico, e no caso de \mathbb{Z}_n os subgrupos correspondem exatamente aos divisores de n.
Explicação didática e prova curta:
Seja G=\langle g\rangle um grupo cíclico de ordem n (no nosso caso g=\bar{1} e G=\mathbb{Z}_n). Tome um subgrupo H\subseteq G. Se H=\{e\} está feito; caso contrário existe um elemento g^k\in H com g^k\neq e.
Seja d o menor inteiro positivo tal que g^d\in H. Então um pequeno argumento mostra que H=\langle g^d\rangle: qualquer elemento de H é alguma potência de g e pela minimalidade de d fica em \langle g^d\rangle.
A ordem de \langle g^d\rangle é \dfrac{n}{\gcd(n,d)}. Em particular, a ordem de qualquer subgrupo divide n.
Conclusão prática: subgrupos não-triviais de \mathbb{Z}_n existem exatamente quando n tem divisores próprios >1; cada divisor m de n dá um subgrupo único de ordem m.
Um jeito direto para \mathbb{Z}_n (aditivo) que uso com frequência na prova: o subgrupo gerado por \bar{k} tem tamanho
Se \gcd(n,k)=1 então \langle\bar{k}\rangle=\mathbb{Z}_n. Se \gcd(n,k)=d>1 então \langle\bar{k}\rangle tem ordem n/d, um subgrupo próprio não-trivial.
Passo 3
Aplicando ao caso específico \mathbb{Z}_{5}:
O número 5 é primo, então seus divisores positivos são apenas 1 e 5.
Portanto os únicos subgrupos possíveis têm ordem 1 ou 5.
Ordem 1 corresponde a \{ \bar{0}\}. Ordem 5 corresponde ao próprio \mathbb{Z}_5.
Alternativamente, para qualquer \bar{k} com \bar{k}\neq\bar{0} tem-se \gcd(5,k)=1, logo \langle\bar{k}\rangle=\mathbb{Z}_5. Assim não há subgrupo próprio não-trivial.
Resposta para a primeira pergunta: \mathbb{Z}_5 não possui subgrupo próprio além de \{\bar{0}\}.
Passo 4
Generalizando para \mathbb{Z}_{p} com p primo:
Pela mesma razão: os divisores de p são 1 e p, logo os únicos subgrupos têm ordem 1 ou p.
Para qualquer \bar{k}\neq\bar{0} em \mathbb{Z}_p temos \gcd(p,k)=1, então \langle\bar{k}\rangle=\mathbb{Z}_p.
Conclusão: em \mathbb{Z}_p não existem subgrupos próprios não-triviais; os únicos subgrupos são \{\bar{0}\} e \mathbb{Z}_p.
Como exemplo contrastante: se n não é primo (por exemplo n=6), existem subgrupos próprios não-triviais: \langle\bar{2}\rangle=\{\bar{0},\bar{2},\bar{4}\} tem ordem 3, etc.
Passo 5
Agora a pergunta sobre grupos infinitos que não tenham subgrupos próprios além da identidade.
Vamos provar que NÃO existe grupo infinito com essa propriedade.
Prova por contradição e argumento direto:
Suponha G é um grupo (qualquer, abeliano ou não) com a propriedade “os únicos subgrupos são \{e\} e G”, e suponha G é infinito.
Tome um elemento a\in G com a\neq e. O subgrupo \langle a\rangle gerado por a não pode ser \{e\}, logo, pela hipótese, deve ser G inteiro. Assim cada elemento não- identidade gera G.
Portanto G é cíclico (gerado por a). Um grupo cíclico infinito é isomorfo a \mathbb{Z}.
Mas \mathbb{Z} tem muitos subgrupos próprios não-triviais: para cada n\ge 1, n\mathbb{Z} é um subgrupo próprio de \mathbb{Z}. Isso contradiz a hipótese.
Logo não pode existir G infinito com essa propriedade.
Resumo da ideia: se não há subgrupos próprios não-triviais, qualquer elemento não-trivial gera o grupo, o que força o grupo a ser cíclico; o único cíclico infinito é \mathbb{Z}, que tem subgrupos próprios, contradição. Portanto não existem grupos infinitos com a propriedade pedida.
Passo 6
Rápido comentário pedagógico e motivador: para finito a regra é simples e prática — um grupo cíclico de ordem n tem subgrupos correspondentes aos divisores de n. Para primo p não há divisores próprios, então não há subgrupos próprios. Para infinito, a propriedade é impossível porque forçaria o grupo a ser cíclico infinito e então ele teria subgrupos próprios (os n\mathbb{Z}). Isso é um resultado curto e elegante — anota aí para a prova!
Resposta
Não — \mathbb{Z}_{5} não possui subgrupo próprio além de \{\bar{0}\}.
Em geral, \mathbb{Z}_{p} para p primo também não tem subgrupos próprios não-triviais (apenas \{\bar{0}\} e \mathbb{Z}_p).
Não — não existem grupos infinitos cuja única subgrupo própria seja \{e\}.