Seja
.
a. Achar uma base de
.
b. Calcular a dimensão de
.
c. Completar a base de
numa base de
.
a. Achar uma base de
b. Calcular a dimensão de
c. Completar a base de
Passo 1
O enunciado define um subespaço
de
dado pela equação
. Vamos usar álgebra linear básica: resolver a equação para expressar uma variável em função das outras, identificar variáveis livres, montar vetores geradores e depois extrair uma base, calcular dimensão e completar para
.
Passo 2
Para achar uma base de
, escrevemos
em termos de
e
:
Como
e
são livres, parametrizamos:
Os vetores
e
geram
e são linearmente independentes, logo formam uma base de
.
Passo 3
A dimensão de
é o número de vetores dessa base. Como temos dois vetores independentes, concluímos que
Passo 4
Para completar essa base a uma base de
, basta escolher um vetor em
que não pertença a
. Por exemplo, o vetor
não está no span de
e
. Assim, a família
é uma base de
que contém nossa base de
.
Resposta
a) Uma base de E é {(1,1,0),😭-3,0,1)}. b)
. c) Uma base de
que completa a base de E é {(1,1,0),😭-3,0,1),;(0,0,1)}.