Seja E.
a. Achar uma base de E.
b. Calcular a dimensão de E.
c. Completar a base de R^3 numa base de .

Passo 1

O enunciado define um subespaço E de R^3 dado pela equação x - y + 3z = 0. Vamos usar álgebra linear básica: resolver a equação para expressar uma variável em função das outras, identificar variáveis livres, montar vetores geradores e depois extrair uma base, calcular dimensão e completar para R^3.

Passo 2

Para achar uma base de E, escrevemos x em termos de y e z:
x ,=, y - 3z
Como y e z são livres, parametrizamos:
(x,y,z) = (y - 3z,; y,; z) = y,(1,1,0) + z,(-3,0,1)
Os vetores (1,1,0) e (-3,0,1) geram E e são linearmente independentes, logo formam uma base de E.

Passo 3

A dimensão de E é o número de vetores dessa base. Como temos dois vetores independentes, concluímos que
dim(E) = 2

Passo 4

Para completar essa base a uma base de R^3, basta escolher um vetor em R^3 que não pertença a E. Por exemplo, o vetor (0,0,1) não está no span de (1,1,0) e (-3,0,1). Assim, a família
(1,1,0),;(-3,0,1),;(0,0,1)
é uma base de R^3 que contém nossa base de E.

Resposta

a) Uma base de E é {(1,1,0),😭-3,0,1)}. b) dim(E)=2. c) Uma base de R^3 que completa a base de E é {(1,1,0),😭-3,0,1),;(0,0,1)}.

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