O enunciado dá cinco vetores em : , , , e . Precisamos calcular as dimensões dos subespaços gerados por certos subconjuntos e a dimensão da interseção de dois desses subespaços. Vamos usar os conceitos de independência linear, posto de matriz (rank) e a fórmula de dimensão para interseção de subespaços.
Passo 2
Para a parte (a), : verificamos se e são múltiplos um do outro. Não existe escalar tal que , pois as componentes não se relacionam linearmente por um mesmo . Logo, e são linearmente independentes e .
Passo 3
Para a parte (b), : montamos a matriz cujas linhas são e fazemos eliminação de Gauss para contar pivôs:
Basta ver que v,yin S2: resolvemos sistemas lineares e achamos v=2u - w e y=2u - w + x,
mostrando que S1subset S2. Então S1+S2=S2 e dim(S1+S2)=3. Logo dim(S1cap S2)=3+3-3=3.