Sejam u=(1,2,0,0), v=(1,5,-1,1), w=(1,-1,1,-1), x=(-1,0,3,0), y=(0,-1,4,-1)
a. Calcular dim Vect(u, v).
b. Calcular dim Vect(u, v, w, x).
c. Calcular dim(Vect(v, x, z) cap Vect(u, w, x)).

Passo 1

O enunciado dá cinco vetores em R^4:
u=(1,2,0,0), v=(1,5,-1,1), w=(1,-1,1,-1), x=(-1,0,3,0) e y=(0,-1,4,-1). Precisamos calcular as dimensões dos subespaços gerados por certos subconjuntos e a dimensão da interseção de dois desses subespaços. Vamos usar os conceitos de independência linear, posto de matriz (rank) e a fórmula de dimensão para interseção de subespaços.

Passo 2

Para a parte (a), dimVect(u,v): verificamos se u e v são múltiplos um do outro. Não existe escalar lambda tal que v=lambda u, pois as componentes não se relacionam linearmente por um mesmo lambda. Logo, u e v são linearmente independentes e
dimVect(u,v)=2.

Passo 3

Para a parte (b), dimVect(u,v,w,x): montamos a matriz cujas linhas são u,v,w,x e fazemos eliminação de Gauss para contar pivôs:
1 & 2 & 0 & 0 1 & 5 & -1 & 1 1 & -1 & 1 & -1 -1 & 0 & 3 & 0 longrightarrow 3 pivôs, ô
Logo
dimVect(u,v,w,x)=3.

Passo 4

Para a parte ©, interpretamos o vetor “z” como sendo y. Definimos
S1=Vect(v,x,y) e S2=Vect(u,w,x).
Primeiro notamos que
dim S1=3 e dim S2=3 (pela mesma técnica de posto). Para achar dim(S1cap S2) usamos a fórmula
dim(S1cap S2)=dim S1+dim S2-dim(S1+S2)

Passo 5

Basta ver que v,yin S2: resolvemos sistemas lineares e achamos
v=2u - w e y=2u - w + x,
mostrando que S1subset S2. Então S1+S2=S2 e
dim(S1+S2)=3. Logo
dim(S1cap S2)=3+3-3=3.

Resposta

a) 2, b) 3, c) 3

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