Ex. 16 Sejam X e Y independentes com distribuições N(0,1) cada. Mostre que, as variáveis W=a X+b Y e Z=b X-a Y são independentes e determine as suas distribuições marginais.

Passo 1

O enunciado diz que X e Y são independentes e cada uma segue a distribuição normal padrão N(0,1). Definimos
W = aX + bY, Z = bX - aY
Queremos mostrar que W e Z são independentes e encontrar suas distribuições marginais. Para isto usaremos que qualquer combinação linear de variáveis gaussianas é gaussiana (logo (W,Z) é bivariada normal) e que, no caso normal, covariância nula implica independência.

Passo 2

Primeiro notamos que (W,Z) é um vetor obtido por uma transformação linear de (X,Y). Como (X,Y) é conjunto de variáveis normais independentes, (W,Z) tem distribuição normal bivariada com vetor de médias zero. Basta então calcular suas médias e covariância para caracterizar a distribuição conjunta.

Passo 3

Calculamos a covariância . Como , temos
Agora
Como e , isso dá

Passo 4

Para um vetor normal bivariado, covariância zero implica independência. Logo W e Z são independentes.

Passo 5

Basta agora achar as variâncias de e de .
Como ambas as médias são zero, concluímos que

Resposta

W e Z são independentes, com
Wsim Nl(0,a^2+b^2r), Zsim Nl(0,a^2+b^2r)

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