Ex. 16 Sejam
e
independentes com distribuições
cada. Mostre que, as variáveis
e
são independentes e determine as suas distribuições marginais.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são independentes e cada uma segue a distribuição normal padrão
. Definimos
Queremos mostrar que
e
são independentes e encontrar suas distribuições marginais. Para isto usaremos que qualquer combinação linear de variáveis gaussianas é gaussiana (logo
é bivariada normal) e que, no caso normal, covariância nula implica independência.
Passo 2
Primeiro notamos que
é um vetor obtido por uma transformação linear de
. Como
é conjunto de variáveis normais independentes,
tem distribuição normal bivariada com vetor de médias zero. Basta então calcular suas médias e covariância para caracterizar a distribuição conjunta.
Passo 3
Calculamos a covariância . Como
, temos
Agora
Como
e
, isso dá
Passo 4
Para um vetor normal bivariado, covariância zero implica independência. Logo
e
são independentes.
Passo 5
Basta agora achar as variâncias de
e de
.
Como ambas as médias são zero, concluímos que