Ex 1. Sabe-se que o daltonismo é hereditário e ocorre mais entre os homens. Baseado em dados históricos, considere uma população com a distribuição do daltonismo para a cor vermelha-verde: 4,23% para indivíduo homem e daltônico;
para mulher e daltônica;
para mulher e não daltônica.
a) Se um indivíduo for selecionado aleatoriamente desta população, encontre:
a.1) a probabilidade deste indivíduo ser homem não daltônico
a.2) a probabilidade deste indivíduo ser daltônico;
a.3) a probabilidade de ser uma mulher;
a.4) a probabilidade deste indivíduo ser daltônico sabendo-se que é uma mulher;
a.5) a probabilidade de ser daltônico sabendo-se que é um homem;
a.6) a probabilidade deste indivíduo ser homem sabendo-se que é daltônico.
b) Considere agora que cinco indivíduos serão selecionados ao acaso, com reposição, desta mesma população. Calcule a probabilidade de:
b.1) Apenas um ser daltônico;
b.2) Todas serem daltônicos;
b.3) No máximo um ser daltônico;
b.4) O número esperado de daltônicas.
c) Se 1000 indivíduos forem selecionados ao acaso e com reposição, qual é o número esperado de daltônicos?
a) Se um indivíduo for selecionado aleatoriamente desta população, encontre:
a.1) a probabilidade deste indivíduo ser homem não daltônico
a.2) a probabilidade deste indivíduo ser daltônico;
a.3) a probabilidade de ser uma mulher;
a.4) a probabilidade deste indivíduo ser daltônico sabendo-se que é uma mulher;
a.5) a probabilidade de ser daltônico sabendo-se que é um homem;
a.6) a probabilidade deste indivíduo ser homem sabendo-se que é daltônico.
b) Considere agora que cinco indivíduos serão selecionados ao acaso, com reposição, desta mesma população. Calcule a probabilidade de:
b.1) Apenas um ser daltônico;
b.2) Todas serem daltônicos;
b.3) No máximo um ser daltônico;
b.4) O número esperado de daltônicas.
c) Se 1000 indivíduos forem selecionados ao acaso e com reposição, qual é o número esperado de daltônicos?
Passo 1
O enunciado nos dá a distribuição conjunta na população para daltonismo vermelho-verde:
- (homem daltônico)
- (mulher daltônica)
- (mulher não daltônica)
onde = ser homem,
= ser mulher,
= ser daltônico e
seu complemento.
Vamos usar fórmulas básicas de probabilidade:
-
-
-
Para a parte (b) usaremos a distribuição binomial com e
, e para (c) o valor esperado
.
-
-
-
onde
Vamos usar fórmulas básicas de probabilidade:
-
-
-
Para a parte (b) usaremos a distribuição binomial com
Passo 2
Calculando a probabilidade de ser homem não daltônico e as marginais de homens e mulheres:
Logo
Passo 3
A probabilidade de um indivíduo ser daltônico é
Passo 4
Agora as probabilidade condicionais de ser daltônico dado o sexo:
Passo 5
A probabilidade de ser homem sabendo que é daltônico é
Passo 6
Para cinco seleções com reposição usamos
. A fórmula geral é
Então
Passo 7
O número esperado de daltônicos em
observações independentes é
Para
:
Para
:
Resposta
a.1)
a.2)
a.3)
a.4)
a.5)
a.6)
a.2)
a.3)
a.4)
a.5)
a.6)
b.1)
b.2)
b.3)
b.4) para
b.2)
b.3)
b.4)
c)
para