Ex 1. Sabe-se que o daltonismo é hereditário e ocorre mais entre os homens. Baseado em dados históricos, considere uma população com a distribuição do daltonismo para a cor vermelha-verde: 4,23% para indivíduo homem e daltônico; 0,65 \% para mulher e daltônica; 46,64 \% para mulher e não daltônica.
a) Se um indivíduo for selecionado aleatoriamente desta população, encontre:
a.1) a probabilidade deste indivíduo ser homem não daltônico
a.2) a probabilidade deste indivíduo ser daltônico;
a.3) a probabilidade de ser uma mulher;
a.4) a probabilidade deste indivíduo ser daltônico sabendo-se que é uma mulher;
a.5) a probabilidade de ser daltônico sabendo-se que é um homem;
a.6) a probabilidade deste indivíduo ser homem sabendo-se que é daltônico.
b) Considere agora que cinco indivíduos serão selecionados ao acaso, com reposição, desta mesma população. Calcule a probabilidade de:
b.1) Apenas um ser daltônico;
b.2) Todas serem daltônicos;
b.3) No máximo um ser daltônico;
b.4) O número esperado de daltônicas.
c) Se 1000 indivíduos forem selecionados ao acaso e com reposição, qual é o número esperado de daltônicos?

Passo 1

O enunciado nos dá a distribuição conjunta na população para daltonismo vermelho-verde:
- \,P(H\cap D)=4,23\% (homem daltônico)
- \,P(W\cap D)=0,65\% (mulher daltônica)
- \,P(W\cap D^c)=46,64\% (mulher não daltônica)
onde H = ser homem, W = ser mulher, D = ser daltônico e D^c seu complemento.
Vamos usar fórmulas básicas de probabilidade:
- P(A^c)=1-P(A)
- P(D)=P(H\cap D)+P(W\cap D)
- P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}
Para a parte (b) usaremos a distribuição binomial com n=5 e p=P(D), e para (c) o valor esperado E[X]=np.

Passo 2

Calculando a probabilidade de ser homem não daltônico e as marginais de homens e mulheres:
P(H\cap D^c)=1-\bigl[P(H\cap D)+P(W\cap D)+P(W\cap D^c)\bigr] =1-(0,0423+0,0065+0,4664)=0,4848.
Logo
P(H)=P(H\cap D)+P(H\cap D^c)=0,0423+0,4848=0,5271,
P(W)=1-P(H)=0,4729.

Passo 3

A probabilidade de um indivíduo ser daltônico é
P(D)=P(H\cap D)+P(W\cap D)=0,0423+0,0065=0,0488.

Passo 4

Agora as probabilidade condicionais de ser daltônico dado o sexo:
P(D\mid W)=\frac{P(W\cap D)}{P(W)} =\frac{0,0065}{0,4729}\approx0,0137,
P(D\mid H)=\frac{P(H\cap D)}{P(H)} =\frac{0,0423}{0,5271}\approx0,0802.

Passo 5

A probabilidade de ser homem sabendo que é daltônico é
P(H\mid D)=\frac{P(H\cap D)}{P(D)} =\frac{0,0423}{0,0488}\approx0,866.

Passo 6

Para cinco seleções com reposição usamos X\sim\mathrm{Binomial}(n=5,p=0,0488). A fórmula geral é
P(X=k)=\binom{5}{k}p^k(1-p)^{5-k}.
Então
P(X=1)=5\cdot0,0488\cdot0,9512^4\approx0,200,
P(X=5)=0,0488^5\approx2,77\times10^{-7},
P(X\le1)=P(X=0)+P(X=1)=0,9512^5+0,200\approx0,978.

Passo 7

O número esperado de daltônicos em n observações independentes é
E[X]=n\,p.
Para n=5:
E[X]=5\cdot0,0488=0,244.
Para n=1000:
E[X]=1000\cdot0,0488=48,8.

Resposta

a.1) P(H\cap D^c)=0,4848
a.2) P(D)=0,0488
a.3) P(W)=0,4729
a.4) P(D\mid W)\approx0,0137
a.5) P(D\mid H)\approx0,0802
a.6) P(H\mid D)\approx0,866
b.1) P(\text{exatamente 1 daltônico})\approx0,200ô
b.2) P(\text{todas 5 daltônicas})\approx2,77\times10^{-7}ô
b.3) P(\text{no máximo 1 daltônico})\approx0,978áô
b.4) E[X]=0,244 para n=5
c) E[X]=48,8 para n=1000

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