Ex 3. A velocidade de propagação de um sinal em um meio é dada por V(x, y)=10-x^{2}+x y-y^{2}. Encontre os pontos críticos e classifique-os.
Passo 1
O enunciado dá a função de duas variáveis que representa a velocidade de propagação de um sinal em um meio:
V(x,y)=10 - x^{2} + x\,y - y^{2}.
O que precisamos é encontrar os pontos críticos (onde o gradiente se anula) e depois classificá-los usando o teste da segunda derivada (matriz Hessiana).
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de V:
\frac{\partial V}{\partial x} = -2x + y,
\frac{\partial V}{\partial y} = x - 2y.
Passo 3
Para achar os pontos críticos, resolvemos o sistema
\begin{cases} -2x + y = 0,\\\ x - 2y = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem y=2x. Substituindo na segunda:
x - 2(2x)=0 \quad\Longrightarrow\quad x - 4x=0 \quad\Longrightarrow\quad 3x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0,
e então y=2\cdot0=0. Logo, há um único ponto crítico: (0,0).
Passo 4
Para classificar (0,0), montamos a matriz Hessiana de V: