Ex 3. A velocidade de propagação de um sinal em um meio é dada por V(x, y)=10-x^{2}+x y-y^{2}. Encontre os pontos críticos e classifique-os.

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis que representa a velocidade de propagação de um sinal em um meio:
V(x,y)=10 - x^{2} + x\,y - y^{2}.
O que precisamos é encontrar os pontos críticos (onde o gradiente se anula) e depois classificá-los usando o teste da segunda derivada (matriz Hessiana).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de V:
\frac{\partial V}{\partial x} = -2x + y,
\frac{\partial V}{\partial y} = x - 2y.

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos o sistema
\begin{cases} -2x + y = 0,\\\ x - 2y = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem y=2x. Substituindo na segunda:
x - 2(2x)=0 \quad\Longrightarrow\quad x - 4x=0 \quad\Longrightarrow\quad 3x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0,
e então y=2\cdot0=0. Logo, há um único ponto crítico: (0,0).

Passo 4

Para classificar (0,0), montamos a matriz Hessiana de V:
H = \begin{pmatrix} V_{xx} & V_{xy}\\\ V_{yx} & V_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1\\\\ 1 & -2 \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante de H em (0,0):
D = (-2) \cdot (-2) - 1^{2} = 4 - 1 = 3 > 0.
Como D > 0 e V_{xx} = -2 < 0, o teste da segunda derivada diz que (0,0) é um ponto de máximo local.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0), e ele é um ponto de máximo local.

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