Ex 2. A densidade de uma substância distribuída em uma região do plano é dada pela função \rho(x, y)=6-2 x^{2}-y^{2}+x y. Encontre os pontos onde a densidade é máxima e/ou mínima.
Passo 1
O enunciado dá a densidade \rho(x,y)=6-2x^{2}-y^{2}+xy
definida em todo o plano. Vamos encontrar os pontos críticos solucionando \nabla\rho=0 e depois classificar extremos usando a matriz Hessiana.
Como D_{1}<0 e \det H>0, H é negativa definida em (0,0), indicando um máximo local.
Passo 4
Como \rho é um polinômio quadrático com coeficientes das variáveis ao quadrado negativos, \rho(x,y)\to -\infty quando \|(x,y)\|\to\infty. Portanto o máximo local em (0,0) é também global, e não existem pontos de mínimo.
Resposta
O único ponto de máximo da densidade é (0,0) com valor \rho(0,0)=6. Não há ponto de mínimo.