Ex 2. A densidade de uma substância distribuída em uma região do plano é dada pela função \rho(x, y)=6-2 x^{2}-y^{2}+x y. Encontre os pontos onde a densidade é máxima e/ou mínima.

Passo 1

O enunciado dá a densidade
\rho(x,y)=6-2x^{2}-y^{2}+xy
definida em todo o plano. Vamos encontrar os pontos críticos solucionando \nabla\rho=0 e depois classificar extremos usando a matriz Hessiana.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial\rho}{\partial x}=-4x+y, \qquad \frac{\partial\rho}{\partial y}=-2y+x.
Igualando a zero,
-4x+y=0\implies y=4x, \qquad -2y+x=0\implies x=2y.
Substituindo y=4x em x=2y x=8x, logo x=0 e então y=0. O único crítico é (0,0).

Passo 3

A matriz Hessiana de \rho é
H=\begin{pmatrix} \frac{\partial^{2}\rho}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2}\rho}{\partial x\partial y}\\\ \frac{\partial^{2}\rho}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2}\rho}{\partial y^{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 1\\\\ 1 & -2 \end{pmatrix}.
Seus principais menores são
D_{1}=-4<0, \qquad \det H =(-4)(-2)-1\cdot1=7>0.
Como D_{1}<0 e \det H>0, H é negativa definida em (0,0), indicando um máximo local.

Passo 4

Como \rho é um polinômio quadrático com coeficientes das variáveis ao quadrado negativos, \rho(x,y)\to -\infty quando \|(x,y)\|\to\infty. Portanto o máximo local em (0,0) é também global, e não existem pontos de mínimo.

Resposta

O único ponto de máximo da densidade é (0,0) com valor \rho(0,0)=6. Não há ponto de mínimo.

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