Ex. 9. Calcule as derivadas parciais indicadas:
f(x, y)=x+yraizy^2-x^2, fx(x, y), fy(x, y)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=x+yraizy^2-x^2,
ou seja, queremos fx e fy. Para isso vamos usar a regra do quociente
partialpartial wl(uvr) =uw,v - u,vwv^2
e a regra da cadeia para derivar v=(y^2-x^2)^1/2.

Passo 2

Defina
u(x,y)=x+y, v(x,y)=(y^2 - x^2)^1/2
Então
,ux=1
e, pela cadeia,
vx=12(y^2 - x^2)^-1/2cdot(-2x) =-x(y^2 - x^2)^1/2
Pela regra do quociente,
fx =ux,v - u,vxv^2 =1cdot v - (x+y)l(-tfracxvr)v^2 =v + x(x+y)vv^2 =v^2 + x(x+y)v^3
Como v^2=y^2-x^2, resulta
fx(x,y) =y^2 - x^2 + x^2 + xy(y^2-x^2)^3/2 =y(y+x)(y^2-x^2)^3/2

Passo 3

Agora
,uy=1
e, pela cadeia,
vy=12(y^2 - x^2)^-1/2cdot2y =y(y^2 - x^2)^1/2
Aplicando a regra do quociente,
fy =uy,v - u,vyv^2 =1cdot v - (x+y)yvv^2 =v^2 - y(x+y)v^3 =y^2 - x^2 - xy - y^2(y^2-x^2)^3/2 =-x(x+y)(y^2-x^2)^3/2

Resposta

fx(x,y)=y(y+x)(y^2-x^2)^3/2, fy(x,y)=-x(x+y)(y^2-x^2)^3/2

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