a) Use a família do Problema 1 para encontrar uma solução de y^prime prime-y=0 que satisfaça as condições de contorno y(0)=0 e y(1)=1.
b) A ED na parte (a) tem a solução geral alternativa y=c3 cosh x+c4 senh x para (-infty, infty). Use essa família para encontrar uma solução que satisfaça as condições de contorno na parte (a).
c) Mostre que as soluções nas partes (a) e (b) são equivalentes.

Passo 1

O enunciado pede resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y = 0
no intervalo (-infty,infty) sujeita às condições de contorno
y(0)=0, y(1)=1
Para isso vamos usar duas famílias de soluções gerais:
  1. y=c1e^x+c2e^-x (parte a).
  2. y=c3cosh x+c4sinh x (parte b).

Passo 2

Parte (a): suponha
y(x)=c1e^x+c2e^-x
Impondo y(0)=0 temos
c1+c2=0Longrightarrow c2=-c1
Em seguida y(1)=1
c1e + c2e^-1=1 Longrightarrow c1(e - e^-1)=1 Longrightarrow c1=1e - e^-1,
portanto c2=-1/(e - e^-1).

Passo 3

Logo a solução que satisfaz os contornos na família exponencial é
y(x)=e^x-e^-xe - e^-1

Passo 4

Parte (b): agora use
y(x)=c3cosh x + c4sinh x
De y(0)=0 segue c3=0. De y(1)=1 segue
c4sinh1 =1 Longrightarrow c4=1sinh1
Logo nesta família
y(x)=sinh xsinh1

Passo 5

Parte (c): para ver que as duas soluções coincidem note que
e^x-e^-x=2sinh x e e - e^-1=2sinh1,
logo
e^x-e^-xe - e^-1 = 2sinh x2sinh1 = sinh xsinh1,
mostrando a equivalência.

Resposta

a) y(x)=e^x-e^-xe-e^-1
b) y(x)=sinh xsinh1
c) As duas expressões coincidem pois e^x-e^-x=2sinh x e e-e^-1=2sinh1, de onde surge a mesma função.

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