a) Use a família do Problema 1 para encontrar uma solução de
que satisfaça as condições de contorno
e
.
b) A ED na parte (a) tem a solução geral alternativa
para
. Use essa família para encontrar uma solução que satisfaça as condições de contorno na parte (a).
c) Mostre que as soluções nas partes (a) e (b) são equivalentes.
b) A ED na parte (a) tem a solução geral alternativa
c) Mostre que as soluções nas partes (a) e (b) são equivalentes.
Passo 1
O enunciado pede resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
no intervalo
sujeita às condições de contorno
Para isso vamos usar duas famílias de soluções gerais:
-
(parte a). -
(parte b).
Passo 2
Parte (a): suponha
Impondo
temos
Em seguida
dá
portanto
.
Passo 3
Logo a solução que satisfaz os contornos na família exponencial é
Passo 4
Parte (b): agora use
De
segue
. De
segue
Logo nesta família
Passo 5
Parte (c): para ver que as duas soluções coincidem note que
logo
mostrando a equivalência.
Resposta
a)
b)
c) As duas expressões coincidem pois
e
, de onde surge a mesma função.