Nos Problemas 13 e 14, a familia a dois parâmetros é uma solução da equação diferencial indicada no intervalo (-infty, infty). Verifique se pode ser encontrado um membro da família que satisfaça as condições de contorno.
y=c1 e^x cos x+c2 e^x sen x ; y^prime prime-2 y^prime+2 y=0
y(0)=1, y^prime(pi)=0

Passo 1

Beleza, o enunciado já nos dá a família solução da EDO homogênea de 2ª ordem
y''-2y'+2y=0
que é
y(x)=c1e^xcos x + c2e^xsin x
A matéria aqui é “E.D.O. linear com coeficientes constantes” e “condições de contorno”.
O que precisamos:
  1. calcular y'(x) usando regra do produto,
  2. impor y(0)=1 e y'(pi)=0,
  3. resolver para c1 e c2.

Passo 2

Vamos achar y'(x). Lembre que a regra do produto diz
(fg)' = f',g + f,g'
Aqui temos duas parcelas:
  1. f=c1e^x,;g=cos x
(fg)' = c1(e^xcos x)'+c2(e^xsin x)'
Mais direto:
y'(x) = c1l(e^xcos xr)' + c2l(e^xsin xr)'
Para cada uma:
(e^xcos x)' = e^xcos x + e^x(-sin x) = e^x(cos x - sin x),
(e^xsin x)' = e^xsin x + e^xcos x = e^x(sin x + cos x)
Então
boxedy'(x) = c1,e^x(cos x - sin x) ;+; c2,e^x(sin x + cos x)

Passo 3

Agora impomos a primeira condição de contorno:
y(0)=1
Calcula:
y(0) = c1e^0cos0 + c2e^0sin0 = c1cdot1cdot1 + c2cdot1cdot0 = c1
Queremos c1 = 1.
Teoria: cada condição de contorno vira uma equação linear em c1,c2.

Passo 4

Segunda condição:
y'(pi)=0
Substitui em
y'(x)=e^xl[c1(cos x-sin x)+c2(sin x+cos x)r]:
y'(pi) = e^pil[c1(cospi-sinpi)+c2(sinpi+cospi)r]
Sabendo cospi=-1, sinpi=0:
y'(pi) = e^pil[c1(-1-0)+c2(0-1)r] = e^pi(-c1 - c2)
Como e^pineq0, precisa dar -c1-c2=0.
Com c1=1, vem
-c1 - c2 =0 ;Longrightarrow; -1 - c2=0 ;Longrightarrow; c2 = -1

Resposta

Sim, existe:
boxedc1 = 1, c2 = -1
Logo a solução que satisfaz y(0)=1 e y'(pi)=0 é
boxedy(x)=e^xl(cos x - sin xr)

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