Ex. 3 Considere um experimento em que uma moeda justa é lançada até que uma cara apareça pela primeira vez. Se esse experimento for realizado três vezes, qual é a probabilidade de que exatamente o mesmo número de lançamentos seja necessário em cada uma das três execuções?
Passo 1
O enunciado fala de um experimento em que lançamos uma moeda justa até sair cara pela primeira vez, e repetimos isso três vezes. Precisamos achar a probabilidade de que as três repetições levem exatamente o mesmo número de lançamentos. O conteúdo envolve a distribuição geométrica e soma de séries geométricas.
Passo 2
Em cada repetição, o número
de lançamentos até a primeira cara segue distribuição geométrica com parâmetro
. Isso significa que
Como as repetições são independentes, a probabilidade conjunta de
é
.
Passo 3
Para ter as três execuções dando o mesmo
, somamos sobre todos os
:
Passo 4
Reconhecendo uma série geométrica com termo inicial
e razão
, cuja soma é
obtemos
Resposta
A probabilidade é
.