Ex. 3 Considere um experimento em que uma moeda justa é lançada até que uma cara apareça pela primeira vez. Se esse experimento for realizado três vezes, qual é a probabilidade de que exatamente o mesmo número de lançamentos seja necessário em cada uma das três execuções?

Passo 1

O enunciado fala de um experimento em que lançamos uma moeda justa até sair cara pela primeira vez, e repetimos isso três vezes. Precisamos achar a probabilidade de que as três repetições levem exatamente o mesmo número de lançamentos. O conteúdo envolve a distribuição geométrica e soma de séries geométricas.

Passo 2

Em cada repetição, o número N de lançamentos até a primeira cara segue distribuição geométrica com parâmetro p = \tfrac12. Isso significa que
P(N = k) = (1-p)^{k-1}p = \Bigl(\tfrac12\Bigr)^{k-1}\tfrac12 = \Bigl(\tfrac12\Bigr)^{k}.
Como as repetições são independentes, a probabilidade conjunta de N_1 = N_2 = N_3 = k é \bigl(P(N=k)\bigr)^3.

Passo 3

Para ter as três execuções dando o mesmo k, somamos sobre todos os k \ge 1:
P(N_1 = N_2 = N_3) = \sum_{k=1}^{\infty} \bigl(P(N=k)\bigr)^3 = \sum_{k=1}^{\infty}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{3k} = \sum_{k=1}^{\infty}\Bigl(\tfrac18\Bigr)^{k}.

Passo 4

Reconhecendo uma série geométrica com termo inicial a=\tfrac18 e razão r=\tfrac18, cuja soma é
\sum_{k=1}^{\infty}r^k = \frac{r}{1-r},
obtemos
\sum_{k=1}^{\infty}\Bigl(\tfrac18\Bigr)^{k} = \frac{\tfrac18}{1-\tfrac18} = \frac{\tfrac18}{\tfrac78} = \frac17.

Resposta

A probabilidade é \tfrac17.

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