Ex. 4 Uma programadora está prestes a tentar compilar uma série de 11 códigos semelhantes. Seja A_{i} o evento de que o i-ésimo código compila com sucesso, para i=1, \ldots, 11. Quando a tarefa de programação é fácil, a programadora espera que 80 \% dos códigos compilem. Quando a tarefa é difícil, ela espera que apenas 40 \% dos códigos compilem. Seja B o evento de que a tarefa de programação foi fácil. A programadora acredita que os eventos A_{1}, \ldots, A_{11} são condicionalmente independentes dado B e dado B^{c}.
(a) Calcule a probabilidade de que exatamente 8 dos 11 programas compilem dado B.

Passo 1

O enunciado diz que temos 11 programas independentes condicionalmente a B, e que, se a tarefa é fácil ( B), cada programa compila com probabilidade 0,8. Queremos a probabilidade de que exatamente 8 dos 11 compilarem, isto é
P\bigl(\text{exatamente }8\mid B\bigr).
Como os A_i são independentes dado B, basta usar o modelo binomial.

Passo 2

Defina X como o número de programas que compilam, dado B. Então
X \sim \mathrm{Bin}\bigl(n=11,\;p=0,8\bigr).
A probabilidade de X=8 é dada por
P(X=8) = \binom{11}{8}\,(0,8)^{8}\,(1-0,8)^{11-8} = \binom{11}{8}\,(0,8)^{8}\,(0,2)^{3}.

Resposta

P\bigl(\text{exatamente }8\mid B\bigr) = \binom{11}{8}\,(0,8)^{8}\,(0,2)^{3}.

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