Ex. 4 Uma programadora está prestes a tentar compilar uma série de 11 códigos semelhantes. Seja A_{i} o evento de que o i-ésimo código compila com sucesso, para i=1, \ldots, 11. Quando a tarefa de programação é fácil, a programadora espera que 80 \% dos códigos compilem. Quando a tarefa é difícil, ela espera que apenas 40 \% dos códigos compilem. Seja B o evento de que a tarefa de programação foi fácil. A programadora acredita que os eventos A_{1}, \ldots, A_{11} são condicionalmente independentes dado B e dado B^{c}.
(b) Calcule a probabilidade de que exatamente 8 dos 11 programas compilem dado B^{c}.

Passo 1

Sob o evento B^{c} (tarefa difícil), cada código compila com probabilidade p=0,4, de forma independente, em n=11 tentativas. Definimos
X = \sum_{i=1}^{11} \mathbf{1}_{A_i},
onde \mathbf{1}_{A_i}=1 se o i-ésimo código compila. Queremos
P(X=8\mid B^{c}).

Passo 2

Como X é soma de variáveis indicadoras independentes e identicamente distribuídas, temos
X \sim \text{Binomial}(n=11,\;p=0,4),
e a massa de probabilidade é dada por
P(X=k) =\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.

Passo 3

Substituindo n=11, k=8 e p=0,4,
P(X=8\mid B^{c}) =\binom{11}{8}\,(0,4)^{8}\,(0,6)^{3}.

Passo 4

Calculamos
\binom{11}{8}=\binom{11}{3}=165,
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P(X=8\mid B^{c}) =165\cdot(0,4)^{8}\cdot(0,6)^{3} \approx0,02338.

Resposta

P(X=8\mid B^{c}) =165\,(0,4)^{8}\,(0,6)^{3} \approx0,02338.

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