Ex 5: Considere os pontos A(0,-1,1), B(2,0,2) e C(1,2,-1). Calcule:
a) o vetor u=A B
b) o vetor v=A C
c) u times v

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores no espaço tridimensional! A gente tem três pontos: A(0,-1,1), B(2,0,2) e C(1,2,-1). O que precisamos fazer é:
a) Encontrar o vetor u = AB
b) Encontrar o vetor v = AC
c) Calcular o produto vetorial u times v
Para isso, vamos usar a ideia de que um vetor entre dois pontos é dado pela diferença das coordenadas dos pontos finais menos os iniciais. E para o produto vetorial, vamos usar a fórmula padrão que envolve determinantes.

Passo 2

Vamos começar com a parte a): Calcular o vetor u = AB.
Para achar o vetor AB, subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B:
u = AB = (xB - xA, yB - yA, zB - zA)
Substituindo os valores:
u = (2 - 0, 0 - (-1), 2 - 1) = (2, 1, 1)

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): Calcular o vetor v = AC.
De maneira similar, subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de C:
v = AC = (xC - xA, yC - yA, zC - zA)
Substituindo os valores:
v = (1 - 0, 2 - (-1), -1 - 1) = (1, 3, -2)

Passo 4

Por fim, vamos resolver a parte c): Calcular o produto vetorial u times v.
O produto vetorial de dois vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) é dado por:
u times v = ( u2 v3 - u3 v2, u3 v1 - u1 v3, u1 v2 - u2 v1 )
Aplicando os valores dos nossos vetores:
u times v = (1 times (-2) - 1 times 3, 1 times 1 - 2 times (-2), 2 times 3 - 1 times 1 )
Calculando cada componente:
u times v = (-2 - 3, 1 + 4, 6 - 1 ) = (-5, 5, 5)

Resposta

a) u = (2, 1, 1)
b) v = (1, 3, -2)
c) u times v = (-5, 5, 5)

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