Quais das transformações abaixo são lineares?
T: C^2(R) longrightarrow C(R), T(f)=3 f^prime prime-2 f^prime+1.

Passo 1

O enunciado apresenta a aplicação
Tcolon C^2(R) to C(R), T(f)=3,f'' -2,f' +1,
e pergunta quais transformações dessa lista são lineares. O conteúdo necessário é a definição de transformação linear: uma aplicação T é linear se, para todo f,gin C^2(R) e todo escalar alpha, valem
T(f+g)=T(f)+T(g) e T(alpha f)=alpha,T(f)

Passo 2

Verificamos a propriedade de homogeneidade no caso mais simples, usando a função zero ,f0(x)=0. Se T fosse linear, teríamos
T(f0)=T(0cdot f)=0cdot T(f)=0

Passo 3

Mas calculando diretamente
T(f0)=3cdot 0'' - 2cdot 0' +1 = 0 - 0 +1 =1
Logo T(f0)=1neq 0, o que contradiz a exigência T(0)=0 para transformações lineares.

Resposta

A transformação T não é linear.

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