Ex 6: Considere a reta r de equação vetorial x=2+t, y=1-t, z=3 t. Determine:
a) dois pontos que pertence à reta r.
b) um vetor diretor da reta r.
c) a distância do ponto P(2,1,0) à reta r .

Passo 1

O enunciado nos dá a reta r em R^3 pelas equações paramétricas
x=2+t, y=1-t, z=3t
Vamos:
  1. Encontrar dois pontos em r (parte a).
  2. Identificar um vetor diretor de r (parte b).
  3. Calcular a distância do ponto P(2,1,0) à reta r usando a fórmula de distância de ponto a reta em 3D (parte c).

Passo 2

Para determinar dois pontos da reta, basta atribuir valores a t. Por exemplo:
Para t=0 temos
(x,y,z)=(2+0,;1-0,;3cdot0)=(2,1,0)
Para t=1 temos
(x,y,z)=(2+1,;1-1,;3cdot1)=(3,0,3)
Logo, dois pontos em r são (2,1,0) e (3,0,3).

Passo 3

O vetor diretor v de r é dado pelos coeficientes do parâmetro t nas equações:
v = (1,,-1,;3)

Passo 4

A distância de um ponto P a uma reta r em 3D pode ser calculada por
d = l|APtimes vr||v|,
onde A é qualquer ponto em r. Tomando A=(2,1,0) (caso t=0), temos
AP=P-A=(2,1,0)-(2,1,0)=(0,0,0).
Logo
APtimes v=(0,0,0),
e então
d = 0

Resposta

a) Dois pontos: (2,1,0) e (3,0,3).
b) Vetor diretor: (1,-1,3).
c) Distância de P(2,1,0) a r: 0.

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