Quais das transformações abaixo são lineares?
T: C([a, b], R) longrightarrow R, T(f)=integrala^b f(x) d x

Passo 1

O enunciado define a aplicação
T: C([a,b],R) to R
por
T(f) ;=;integrala^b f(x),dx
Queremos verificar se T satisfaz a definição de transformação linear, ou seja, se para quaisquer f,gin C([a,b],R) e cinR valem
  1. T(f+g)=T(f)+T(g),
  2. T(c,f)=c,T(f).

Passo 2

Verificamos a aditividade. Seja f,gin C([a,b],R). Então
T(f+g) =integrala^bl(f(x)+g(x)r),dx =integrala^bf(x),dx+integrala^bg(x),dx =T(f)+T(g),
onde usamos a propriedade de soma de integrais em um mesmo intervalo.

Passo 3

Verificamos a homogeneidade. Seja cinR e fin C([a,b],R). Então
T(c,f) =integrala^bc,f(x),dx =cintegrala^bf(x),dx =c,T(f),
onde usamos a propriedade de fator constante dentro da integral.

Resposta

A transformação
T(f)=integrala^bf(x),dx
é linear.

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