Ex. 3) Dada uma matriz
definimos o traço de
como
e o determinante de
como
. Considere o polinômio
e mostre que
, ou seja
onde
é a matriz identidade.
Passo 1
Temos a matriz
, o traço e o determinante
. O polinômio característico é e queremos mostrar que . Vamos precisar calcular
, e
e ver que a soma dá a matriz zero.
Passo 2
Calculamos primeiro
por multiplicação de matrizes:
Passo 3
Em seguida, como ,
Passo 4
Depois, usando
e
,
Passo 5
Agora formamos
e conferimos cada entrada:
- (1,1):
- (1,2):
- (2,1):
- (2,2):
.
Logo, todas as entradas são zero.
Passo 6
Como cada componente de
é zero, concluímos que
, isto é,
.
.