Ex. 3) Dada uma matriz lla & b c & d definimos o traço de A como tr(A)=a+d e o determinante de A como det(A)=a d-b c. Considere o polinômio p(x)=x^2-tr(A) x+det(A) e mostre que p(A)=0, ou seja A^2-tr(A) A+det(A) I=0 onde I é a matriz identidade.

Passo 1

Temos a matriz A=a & b c & d, o traço e o determinante tr(A)=a+d. O polinômio característico é e queremos mostrar que . Vamos precisar calcular det(A)=ad-bc, e p(x)=x^2-tr(A)x+det(A) e ver que a soma dá a matriz zero.

Passo 2

Calculamos primeiro A^2 por multiplicação de matrizes:
A^2=a & b c & da & b c & d = a^2+bc & b(a+d) c(a+d) & d^2+bc

Passo 3

Em seguida, como ,

Passo 4

Depois, usando det(A)=ad-bc e I=1&00&1,
det(A)I=(ad-bc)1 & 00 & 1=ad-bc & 00 & ad-bc

Passo 5

Agora formamos
e conferimos cada entrada:
  • (1,1): p(A)=A^2-tr(A)A+det(A)I =a^2+bc & b(a+d) c(a+d) & d^2+bc-a(a+d) & b(a+d) c(a+d) & d(a+d)+ad-bc & 00 & ad-bc
  • (1,2): a^2+bc - a(a+d)+ad-bc=0
  • (2,1): b(a+d)-b(a+d)+0=0
  • (2,2): c(a+d)-c(a+d)+0=0.
    Logo, todas as entradas são zero.

Passo 6

Como cada componente de p(A) é zero, concluímos que p(A)=0, isto é,
.

Resposta

A^2 - tr(A) A + det(A) I = 0 (matriz zero)

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