Os vetores
((1,0,2)) e ((1,0,3)) são linearmente independentes em ((mathbb{R}^{3})) ? geram ((mathbb{R}^{3})) ? formam uma base de ((mathbb{R}^{3})) ?

Passo 1

Temos dois vetores v1 = (1,0,2) e v2 = (1,0,3) em R^3. A tarefa é verificar: independência linear, geração de R^3 e formação de base de R^3. Vamos usar a definição de independência linear e a noção de dimensão do subespaço gerado.

Passo 2

Para testar independência linear, suponha uma combinação linear nula:
alpha1v1 + alpha2v2 = (0,0,0)
Isso gera o sistema
alpha1 + alpha2 = 0, 0 = 0, 2alpha1 + 3alpha2 = 0
Da primeira equação alpha1 = -alpha2. Substituindo na terceira:
2(-alpha2) + 3alpha2 = alpha2 = 0
Logo alpha2=0 e alpha1=0, portanto são linearmente independentes.

Passo 3

Dois vetores independentes em R^3 geram um subespaço de dimensão 2, mas dim(R^3)=3. Como 2<3, eles não geram todo R^3.

Passo 4

Para formar uma base de R^3 seriam necessários 3 vetores linearmente independentes. Aqui temos apenas 2, logo não formam base de R^3.

Resposta

São linearmente independentes; não geram R^3; não formam base de R^3.

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