Os vetores
((1,0,2)) e ((1,0,3)) são linearmente independentes em ((mathbb{R}^{3})) ? geram ((mathbb{R}^{3})) ? formam uma base de ((mathbb{R}^{3})) ?
Passo 1
Temos dois vetores e em . A tarefa é verificar: independência linear, geração de e formação de base de . Vamos usar a definição de independência linear e a noção de dimensão do subespaço gerado.
Passo 2
Para testar independência linear, suponha uma combinação linear nula:
Isso gera o sistema
Da primeira equação alpha1 = -alpha2. Substituindo na terceira:
2(-alpha2) + 3alpha2 = alpha2 = 0
Logo alpha2=0 e alpha1=0, portanto são linearmente independentes.
Passo 3
Dois vetores independentes em R^3 geram um subespaço de dimensão 2, mas dim(R^3)=3. Como 2<3, eles não geram todo R^3.
Passo 4
Para formar uma base de R^3 seriam necessários 3 vetores linearmente independentes. Aqui temos apenas 2, logo não formam base de R^3.
Resposta
São linearmente independentes; não geram R^3; não formam base de R^3.