Questão 4

Seja E.
a. Achar uma base de E.
b. Calcular a dimensão de E.
c. Completar a base de R^3 numa base de E.
d. Seja F. e são complementares?

Passo 1

O enunciado apresenta o subespaço E=(x,y,z)in R^3;,2x+y-z=0. O conteúdo é espaços vetoriais e subespaços em R^n, e vamos precisar parametrizar E, encontrar uma base, calcular sua dimensão, completar essa base até uma base de R^3 e, por fim, analisar o subespaço F=(x,y,z)in R^3;,x+y+z=0 para verificar se E e F são complementares.

Passo 2

Para achar uma base de E, resolvemos a equação da restrição:
2x + y - z = 0
Tomamos variáveis livres y=s e z=t. Da equação acima,
2x = z - y x = t-s2
Logo, o vetor genérico de E fica
(x,y,z) = l(tfract-s2,,s,,tr) = sl(-tfrac12,1,0r) + tl(tfrac12,0,1r)
Da forma paramétrica, E é gerado por (-tfrac12,1,0) e (tfrac12,0,1). Para evitar frações, podemos multiplicar ambos os vetores por 2, obtendo a base
(-1,2,0),,(1,0,2)

Passo 3

A dimensão de E é o número de vetores de sua base, logo dim(E)=2.

Passo 4

Para completar essa base numa base de R^3, basta escolher um vetor que não satisfaça 2x+y-z=0. Por exemplo, (0,1,0) 2cdot0+1-0=1neq0, então não pertence a E. Assim uma base de R^3 é
(-1,2,0),,(1,0,2),,(0,1,0)

Passo 5

Dois subespaços E e F de R^3 são complementares se R^3 = E oplus F, o que exige dim(E)+dim(F)=3 e Ecap F=0.
Como F é dado por x+y+z=0, temos dim(F)=2. Então dim(E)+dim(F)=2+2=4neq3, o que já basta para concluir que E e F não são complementares.

Resposta

a) Uma base de E é {(-1,2,0), (1,0,2)}. b) \dim(E)=2. c) Uma base de \mathbb R^3 que contém a base de E é {(-1,2,0), (1,0,2), (0,1,0)}. d) Não, E e F não são complementares.

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