Questão 4
Seja
.
a. Achar uma base de
.
b. Calcular a dimensão de
.
c. Completar a base de
numa base de
.
d. Seja
.
e
são complementares?
a. Achar uma base de
b. Calcular a dimensão de
c. Completar a base de
d. Seja
Passo 1
O enunciado apresenta o subespaço
. O conteúdo é espaços vetoriais e subespaços em
, e vamos precisar parametrizar
, encontrar uma base, calcular sua dimensão, completar essa base até uma base de
e, por fim, analisar o subespaço
para verificar se
e
são complementares.
Passo 2
Para achar uma base de
, resolvemos a equação da restrição:
Tomamos variáveis livres
e
. Da equação acima,
Logo, o vetor genérico de
fica
Da forma paramétrica,
é gerado por
e
. Para evitar frações, podemos multiplicar ambos os vetores por 2, obtendo a base
Passo 3
A dimensão de
é o número de vetores de sua base, logo
.
Passo 4
Para completar essa base numa base de
, basta escolher um vetor que não satisfaça
. Por exemplo,
dá
, então não pertence a
. Assim uma base de
é
Passo 5
Dois subespaços
e
de
são complementares se
, o que exige
e
.
Como é dado por
, temos
. Então
, o que já basta para concluir que
e
não são complementares.
Como
Resposta
a) Uma base de E é {(-1,2,0), (1,0,2)}. b) \dim(E)=2. c) Uma base de \mathbb R^3 que contém a base de E é {(-1,2,0), (1,0,2), (0,1,0)}. d) Não, E e F não são complementares.