Os vetores 1,(x-1) e ((x-1)^{2}) são linearmente independentes em ((mathbb{R}{
leq 2}[X])) ? geram ((mathbb{R}{
leq 2}[X])) ? formam uma base de ((mathbb{R}{
leq 2}[X])) ? (Lembramos que ((mathbb{R}{
leq 2}[X])) é o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2 ).
Passo 1
O enunciado pede para analisar no espaço dos polinômios de grau ≤2, denotado por , o conjunto de vetores : conferir se são linearmente independentes, se geram o espaço e se formam uma base.
Passo 2
Para testar independência, considere a combinação linear nula
Expandindo e coletando termos, obtemos
Igualando coeficientes resulta no sistema
Da última equação vem c=0, depois b=2c=0 e finalmente a=0. Logo, só a combinação trivial zera o polinômio, provando que são linearmente independentes.
Passo 3
Sabendo que 1,x-1,(x-1)^2 tem três vetores e são linearmente independentes em um espaço de dimensão 3 (pois diml(R<=2[X]r)=3), pela teoria de espaços vetoriais eles geram o espaço e, portanto, formam uma base.