Os vetores 1,(x-1) e ((x-1)^{2}) são linearmente independentes em ((mathbb{R}{
leq 2}[X])) ? geram ((mathbb{R}
{
leq 2}[X])) ? formam uma base de ((mathbb{R}{
leq 2}[X])) ? (Lembramos que ((mathbb{R}
{
leq 2}[X])) é o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2 ).

Passo 1

O enunciado pede para analisar no espaço dos polinômios de grau ≤2, denotado por R<=2[X], o conjunto de vetores 1,;x-1,;(x-1)^2: conferir se são linearmente independentes, se geram o espaço e se formam uma base.

Passo 2

Para testar independência, considere a combinação linear nula
acdot1 + b,(x-1) + c,(x-1)^2 = 0 para todos x
Expandindo (x-1)^2 = x^2 -2x+1 e coletando termos, obtemos
(a - b + c) + (b - 2c)x + c,x^2 = 0 + 0,x + 0,x^2
Igualando coeficientes resulta no sistema
a - b + c = 0, b - 2c = 0, c = 0
Da última equação vem c=0, depois b=2c=0 e finalmente a=0. Logo, só a combinação trivial zera o polinômio, provando que são linearmente independentes.

Passo 3

Sabendo que 1,x-1,(x-1)^2 tem três vetores e são linearmente independentes em um espaço de dimensão 3 (pois diml(R<=2[X]r)=3), pela teoria de espaços vetoriais eles geram o espaço e, portanto, formam uma base.

Resposta

Sim; Sim; Sim.

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