Ex 6. Um sistema físico obedece à função de energia U(x, y)=x^{2}+y^{2}-x y, com a condição de que o ponto (x, y) pertença à parábola y=x^{2}. Determine os extremos dessa função sob a restrição dada.

Passo 1

O enunciado dá a energia
U(x,y)=x^{2}+y^{2}-x\,y
sujeita à restrição de que (x,y) esteja na parábola y=x^{2}.
O conteúdo é otimização com restrição; vamos usar o método de substituição y=x^{2} para reduzir a um problema univariado.

Passo 2

Substituindo y=x^{2} em U, obtemos a função de uma variável
U(x)=x^{2}+(x^{2})^{2}-x\cdot x^{2}=x^{4}-x^{3}+x^{2}.

Passo 3

Calculamos a derivada de U(x) para achar pontos críticos:
\frac{dU}{dx}=4x^{3}-3x^{2}+2x=x\,(4x^{2}-3x+2).
Igualando a zero, vem
x=0 \quad\text{ou}\quad 4x^{2}-3x+2=0.
Como o discriminante de 4x^{2}-3x+2 é \Delta=(-3)^{2}-4\cdot4\cdot2=-23<0, só há raiz real x=0.

Passo 4

A segunda derivada é
\frac{d^{2}U}{dx^{2}}=12x^{2}-6x+2.
Em x=0 vale \frac{d^{2}U}{dx^{2}}(0)=2>0, logo é mínimo local. Como para |x|\to\infty temos U(x)\to+\infty, esse é o mínimo global e não há máximo global.

Passo 5

O ponto crítico corresponde a
x=0,\quad y=x^{2}=0,
e o valor de U é
U(0,0)=0.

Resposta

O único extremo sob a restrição é um mínimo em (x,y)=(0,0), com U(0,0)=0. Não há máximo.

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