Ex 6. Um sistema físico obedece à função de energia
, com a condição de que o ponto
pertença à parábola
. Determine os extremos dessa função sob a restrição dada.
Passo 1
O enunciado dá a energia
sujeita à restrição de que
esteja na parábola
.
O conteúdo é otimização com restrição; vamos usar o método de substituição para reduzir a um problema univariado.
O conteúdo é otimização com restrição; vamos usar o método de substituição
Passo 2
Substituindo
em
, obtemos a função de uma variável
Passo 3
Calculamos a derivada de
para achar pontos críticos:
Igualando a zero, vem
Como o discriminante de
é
, só há raiz real
.
Passo 4
A segunda derivada é
Em
vale
, logo é mínimo local. Como para
temos
, esse é o mínimo global e não há máximo global.
Passo 5
O ponto crítico corresponde a
e o valor de
é
Resposta
O único extremo sob a restrição é um mínimo em
, com
. Não há máximo.