Ex 1. A pressão em uma membrana é dada por P(x, y)=x y-x^{2}-y^{2}. Encontre os pontos críticos e determine os valores de máximo e/ou mínimo local.
Passo 1
O enunciado dá a função de duas variáveis
P(x,y)=xy - x^2 - y^2
e pede para achar os pontos críticos e classificar cada um (máximo ou mínimo local). Para isso, vamos usar cálculo de derivadas parciais para encontrar onde ∇P=0 e depois aplicar o teste da matriz Hessiana para ver o tipo de extremante.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
\frac{\partial P}{\partial x} = y - 2x = 0,
\frac{\partial P}{\partial y} = x - 2y = 0.
Esse sistema é
\begin{cases} y = 2x,\\\ x = 2y. \end{cases}
Substituindo y=2x na segunda equação: x=2(2x)=4x, logo 4x - x=0 implica x=0. Então y=2\cdot0=0. Há apenas o ponto crítico (0,0).