Ex 1. A pressão em uma membrana é dada por P(x, y)=x y-x^{2}-y^{2}. Encontre os pontos críticos e determine os valores de máximo e/ou mínimo local.

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
P(x,y)=xy - x^2 - y^2
e pede para achar os pontos críticos e classificar cada um (máximo ou mínimo local). Para isso, vamos usar cálculo de derivadas parciais para encontrar onde ∇P=0 e depois aplicar o teste da matriz Hessiana para ver o tipo de extremante.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
\frac{\partial P}{\partial x} = y - 2x = 0,
\frac{\partial P}{\partial y} = x - 2y = 0.
Esse sistema é
\begin{cases} y = 2x,\\\ x = 2y. \end{cases}
Substituindo y=2x na segunda equação: x=2(2x)=4x, logo 4x - x=0 implica x=0. Então y=2\cdot0=0. Há apenas o ponto crítico (0,0).

Passo 3

Agora montamos a matriz Hessiana H:
H = \begin{pmatrix} P_{xx} & P_{xy}\\\ P_{yx} & P_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1\\\\ 1 & -2 \end{pmatrix},
já que
P_{xx}=\frac{\partial^2P}{\partial x^2}=-2,\quad P_{yy}=\frac{\partial^2P}{\partial y^2}=-2,\quad P_{xy}=P_{yx}=1.
O determinante de H é
\det(H)=(-2)(-2)-1^2=4-1=3>0.
E P_{xx}=-2<0. Quando \det(H)>0 e P_{xx}<0, o ponto crítico é um máximo local.

Passo 4

O valor da função nesse ponto é
P(0,0)=0\cdot0 - 0^2 - 0^2 = 0.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0), onde P(0,0)=0, e trata-se de um máximo local.

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