Ex. 3) Dentre os números 1 até 2018 inclusive, quantos são divisíveis por 3 , ou 2 , ou por 7 ?
Passo 1
O enunciado pede para contar quantos inteiros de 1 até 2018 (inclusive) são divisíveis por 2, por 3 ou por 7. O conteúdo principal aqui é o Princípio da Inclusão–Exclusão, que serve para evitar contagens duplicadas quando há interseções entre os conjuntos.
Passo 2
Contamos separadamente quantos são múltiplos de cada divisor:
– Multiples de 2:
– Multiples de 2:
– Múltiplos de 3:
– Múltiplos de 7:
Passo 3
Agora contamos as interseções pares (números múltiplos de dois divisores ao mesmo tempo):
– Múltiplos de 2 e 3 (i.e.\ de 6):
– Múltiplos de 2 e 3 (i.e.\ de 6):
– Múltiplos de 2 e 7 (i.e.\ de 14):
– Múltiplos de 3 e 7 (i.e.\ de 21):
Passo 4
Contamos a interseção tripla (múltiplos de 2, 3 e 7, i.e.\ de 42):
Passo 5
Aplicamos o Princípio da Inclusão–Exclusão:
Substituindo os valores:
Resposta
1441