Ex. 3) Dentre os números 1 até 2018 inclusive, quantos são divisíveis por 3 , ou 2 , ou por 7 ?

Passo 1

O enunciado pede para contar quantos inteiros de 1 até 2018 (inclusive) são divisíveis por 2, por 3 ou por 7. O conteúdo principal aqui é o Princípio da Inclusão–Exclusão, que serve para evitar contagens duplicadas quando há interseções entre os conjuntos.

Passo 2

Contamos separadamente quantos são múltiplos de cada divisor:
– Multiples de 2:
n_2 = \Big\lfloor \frac{2018}{2}\Big\rfloor = 1009.
– Múltiplos de 3:
n_3 = \Big\lfloor \frac{2018}{3}\Big\rfloor = 672.
– Múltiplos de 7:
n_7 = \Big\lfloor \frac{2018}{7}\Big\rfloor = 288.

Passo 3

Agora contamos as interseções pares (números múltiplos de dois divisores ao mesmo tempo):
– Múltiplos de 2 e 3 (i.e.\ de 6):
n_{2,3} = \Big\lfloor \frac{2018}{6}\Big\rfloor = 336.
– Múltiplos de 2 e 7 (i.e.\ de 14):
n_{2,7} = \Big\lfloor \frac{2018}{14}\Big\rfloor = 144.
– Múltiplos de 3 e 7 (i.e.\ de 21):
n_{3,7} = \Big\lfloor \frac{2018}{21}\Big\rfloor = 96.

Passo 4

Contamos a interseção tripla (múltiplos de 2, 3 e 7, i.e.\ de 42):
n_{2,3,7} = \Big\lfloor \frac{2018}{42}\Big\rfloor = 48.

Passo 5

Aplicamos o Princípio da Inclusão–Exclusão:
N = n_2 + n_3 + n_7 \;-\;(n_{2,3} + n_{2,7} + n_{3,7})\;+\;n_{2,3,7}.
Substituindo os valores:
N = 1009 + 672 + 288 \;-\;(336 + 144 + 96)\;+\;48 = 1441.

Resposta

1441

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