A produção diária de uma máquina apresenta-se normalmente distribuida com média de 880 ton/dia. A produção diária, para 25 dias amostrados, forneceu uma produção diária média de 870 ton/dia e desvio-padrão de 20 ton/dia. Ao nível de significância de 5 \% :
a) Teste a hipótese sob a suposição de queda na produção diária.
b) Determine o p-valor.
c) Determine um intervalo com 95 \% de confiança para a produção diária média da máquina.

Passo 1

O enunciado nos dá uma máquina cuja produção diária é normalmente distribuída com média verdadeira \mu, e queremos verificar se houve queda em relação a \mu_0=880 ton/dia. Amostras de tamanho n=25 apresentaram média \bar x=870 ton/dia e desvio-padrão s=20 ton/dia. Vamos usar o teste t de Student unilateral à esquerda (nível de significância \alpha=5\%) e também construir um intervalo de confiança de 95\% para \mu.

Passo 2

Formulamos as hipóteses:
H_0:\mu=880 \quad\text{versus}\quad H_1:\mu<880.
O estatístico de teste é
t = \frac{\bar x - \mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{870 - 880}{20/\sqrt{25}} = \frac{-10}{20/5} = \frac{-10}{4} = -2{,}5.
O valor crítico para t_{24;\,0,05} (uma cauda) é aproximadamente -1{,}711. Como
-2{,}5 < -1{,}711,
rejeitamos H_0 e concluímos que há evidência de queda na produção diária.

Passo 3

O p-valor é
p = P\bigl(T_{24} \le -2{,}5\bigr) \approx 0{,}01.
Ou seja, a probabilidade de obter um valor tão extremo (ou mais) sob H_0 é cerca de 1\%.

Passo 4

Para o intervalo de confiança de 95\% usamos
\bar x \pm t_{24;\,0,975}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
onde t_{24;\,0,975}\approx2{,}064. Assim, a margem de erro é
2{,}064 \times \frac{20}{\sqrt{25}} =2{,}064 \times 4 =8{,}256.
Logo o intervalo é
\bigl(870 - 8{,}256,\;870 + 8{,}256\bigr) \approx (861{,}74,\;878{,}26)\\ \text{ton/dia}.

Resposta

a) Rejeita-se H_0; há evidência de queda na produção.
b) p-valor \approx0{,}01.
c) Intervalo de confiança de 95\%: (861{,}74,\;878{,}26) ton/dia.

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