Quantas são as permutações das letras da palavra BRASIL em que o B ocupa o primeiro lugar , ou o R o segundo lugar, ou o L o sexto lugar?

Passo 1

O enunciado pede o número de permutações das seis letras de “BRASIL” tais que pelo menos uma destas condições ocorra:
– o B ocupe a 1ª posição,
– o R ocupe a 2ª posição,
– o L ocupe a 6ª posição.
Como estamos contando permutações com condições “ou”, vamos usar o princípio da inclusão-exclusão para três propriedades.

Passo 2

Contamos primeiro cada conjunto isoladamente:
A = permutações com B na posição 1. Fixando o B, restam 5 lugares e 5 letras, logo
|A| = 5! = 120.
B' = permutações com R na posição 2. Analogamente
|B'| = 5! = 120.
C = permutações com L na posição 6. Também
|C| = 5! = 120.

Passo 3

Agora as interseções de dois conjuntos (duas condições ao mesmo tempo):
A \cap B' = B em 1 e R em 2, sobrando 4 letras para 4 posições, então
|A \cap B'| = 4! = 24.
A \cap C = B em 1 e L em 6, restam 4 letras para 4 lugares,
|A \cap C| = 4! = 24.
B' \cap C = R em 2 e L em 6, igualmente
|B' \cap C| = 4! = 24.

Passo 4

Interseção dos três conjuntos (todas as três condições simultâneas): B em 1, R em 2 e L em 6. Restam 3 letras para 3 posições,
|A \cap B' \cap C| = 3! = 6.

Passo 5

Aplicando o princípio da inclusão-exclusão:
|A \cup B' \cup C| = |A| + |B'| + |C| - \bigl(|A \cap B'| + |A \cap C| + |B' \cap C|\bigr) + |A \cap B' \cap C|.
Substituindo os valores:
|A \cup B' \cup C| = 120 + 120 + 120 - (24 + 24 + 24) + 6 = 360 - 72 + 6 = 294.

Resposta

294

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