QUESTÃO 4: (2 Pontos) Uma indústria tem duas linhas de produção (A e B) na fabricação de disjuntores. O gerente industrial suspeita que a qualidade da linha B é melhor e, para se certificar, seleciona amostras de disjuntores das duas linhas e registra o tempo de vida, após a realização de testes acelerados. Obteve, então, os seguintes resultados quanto ao tempo de vida, em horas: Linha A : \mathrm{n}=40, média =45, desvio padrão =6; Linha B: n=50, média =50, desvio padrão =8. Assumindo que as variâncias populacionais são diferentes, para um nível de significância de 5 \% e com base em um teste de hipóteses, os dados amostrais evidenciam a suspeita do gerente?
Observação: a informação que as variâncias populacionais são diferentes é apenas para justificar que o teste pode ser realizado como se as variâncias populacionais fossem conhecidas.

Passo 1

O enunciado dá duas amostras independentes de tempos de vida de disjuntores das linhas A e B e pede para testar, a 5 % de significância, se a vida média da linha B é maior que a da linha A. O conteúdo aqui é teste de hipóteses para diferença de duas médias com variâncias desconhecidas e assumidas diferentes (teste de Welch). Vamos precisar das seguintes informações:
• Linha A: n_A=40, \bar x_A=45, s_A=6
• Linha B: n_B=50, \bar x_B=50, s_B=8
• Nível de significância \alpha=0,05

Passo 2

Formulamos as hipóteses unilaterais:
H_0: \mu_B = \mu_A
H_1: \mu_B > \mu_A
Como as variâncias são desconhecidas e diferentes, usamos o teste t de Welch.

Passo 3

Calculamos o erro-padrão da diferença de médias:
\text{SE} = \sqrt{\frac{s_A^2}{n_A} + \frac{s_B^2}{n_B}} = \sqrt{\frac{6^2}{40} + \frac{8^2}{50}} = \sqrt{0{,}9 + 1{,}28} = \sqrt{2{,}18} \approx 1{,}477
O valor do estatístico de teste é
t = \frac{\bar x_A - \bar x_B}{\text{SE}} = \frac{45 - 50}{1{,}477} \approx -3{,}385.

Passo 4

Calculamos os graus de liberdade aproximados (Welch) por
\nu = \frac{(s_A^2/n_A + s_B^2/n_B)^2} {(s_A^4/[n_A^2(n_A-1)]) + (s_B^4/[n_B^2(n_B-1)])} \approx 87{,}7
Arredondamos para \nu\approx88.

Passo 5

O valor crítico para \alpha=0,05 num teste unilateral e \nu=88 é t_{0{,}95;88}\approx1{,}662. Como nosso t\approx -3{,}385 (equivalente a +3{,}385 no lado positivo) excede 1{,}662, rejeitamos H_0.

Passo 6

A região de rejeição é t>1{,}662. Nosso t observado é muito maior em módulo (p-valor \approx 0,0004 unilaterial), logo há evidência estatística para afirmar que a vida média da linha B é maior que a da linha A ao nível de 5 %.

Resposta

Sim. Rejeita-se H_0 a 5 % de nível de significância, concluindo que a linha B tem vida média significativamente maior que a linha A.

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