Ex. 5.Determinar o tipo das seguintes equaçōes diferenciais e indicar o método de resolução:
(y^prime-2 x y) raizy=x^3

Passo 1

O enunciado pede para reconhecer o tipo da equação diferencial
(y' - 2xy)raizy = x^3
e indicar o método de resolução. O conteúdo envolvido é classificação de equações de 1ª ordem e uso da transformação de Bernoulli.

Passo 2

Colocando em forma padrão, isolamos y':
y' - 2xy = x^3raizy
Essa equação está na forma
y' + P(x),y = Q(x),y^alpha
com
P(x)=-2x, Q(x)=x^3, alpha=-tfrac12
Portanto é uma equação de Bernoulli.

Passo 3

Na equação de Bernoulli usa-se a substituição
u = y^1-alpha = y^1 - (-tfrac12) = y^3/2
Calculando a derivada temos
u' = 32,y',raizy Longrightarrow y',raizy = 23,u'

Passo 4

Substituindo na forma original (y'raizy-2xyraizy=x^3) obtemos
23u' - 2x,u = x^3 Longrightarrow u' - 3x,u = tfrac32,x^3
Essa é uma equação linear de 1ª ordem em u, que se resolve com fator integrante
mu(x)=e^-tfrac32x^2. Depois de achar u(x), retorna-se a y = u^2/3.

Resposta

É uma equação de Bernoulli com alpha=-tfrac12. Para resolvê-la faz-se a substituição u=y^3/2, obtém-se uma equação linear em u e aplica-se o fator integrante.

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