Ex. 5.Determinar o tipo das seguintes equações diferenciais e indicar o método de resolução:
y^prime=(x+y)^2

Passo 1

Temos a equação diferencial dada y' = (x+y)^2. Isso é uma EDO de primeira ordem não linear, mais especificamente uma equação de Riccati sem termo linear isolado, e ela pode ser resolvida por uma substituição que leva a uma equação separável.

Passo 2

Perceba que se definirmos u = x + y, conseguimos simplificar a expressão (x+y)^2.
Derivando u em relação a x:
dudx = ddx(x+y) = 1 + dydx = 1 + y'
e, como y' = (x+y)^2, temos
dudx = 1 + u^2

Passo 3

Agora a EDO está na forma separável:
dudx = 1 + u^2 Longrightarrow du1 + u^2 = dx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral du1 + u^2 = integral dx
o que resulta em
arctan(u) = x + C

Passo 5

Retornando à variável y, note que u = x+y, então
x + y = tan(x + C) Longrightarrow y = tan(x + C) - x

Resposta

y = \tan(x + C) - x

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