Ex. 8) Encontre todas as soluções do sistema ao lado usando a matriz aumentada e fazendo operações elementares de linha.
l 2 x1+3 x2-x3=0 x1+2 x2+x3=3 x1+3 x2+3 x3=7

Passo 1

Nesse exercício vamos resolver um sistema linear de três equações e três incógnitas usando matriz aumentada e operações elementares de linha. O conteúdo é Sistemas Lineares e Gauss-Jordan, e vamos precisar montar a matriz aumentada e aplicar trocas de linhas, multiplicações por escalar e somas de linhas para chegar na forma escalonada reduzida.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a matriz aumentada do sistema. Temos as equações:
2 & 3 & -1 & | & 0 1 & 2 & 1 & | & 3 1 & 3 & 3 & | & 7

Passo 3

Para facilitar, trocamos a linha 1 com a linha 2 de modo a ter um 1 como pivô principal. Isso é uma operação elementar de tipo troca de linhas (R1 rightarrow R2). A matriz fica:
1 & 2 & 1 & | & 3 2 & 3 & -1 & | & 0 1 & 3 & 3 & | & 7

Passo 4

Agora eliminamos a variável x1 nas linhas 2 e 3. Aplicamos:
  • R2 R2 - 2·R1
  • R3 R3 - R1
    Fazendo as contas, obtemos:
1 & 2 & 1 & | & 3 0 & -1 & -3 & | & -6 0 & 1 & 2 & | & 4

Passo 5

Em seguida, normalizamos a linha 2 para que o pivô seja 1 multiplicando por -1:
  • R2 -1·R2
1 & 2 & 1 & | & 3 0 & 1 & 3 & | & 6 0 & 1 & 2 & | & 4

Passo 6

Agora eliminamos x2 das outras linhas:
  • R1 R1 - 2·R2
  • R3 R3 - R2
    Isso leva a:
1 & 0 & -5 & | & -9 0 & 1 & 3 & | & 6 0 & 0 & -1 & | & -2

Passo 7

Fazemos o pivô da linha 3 ficar 1 multiplicando por -1:
  • R3 -1·R3
1 & 0 & -5 & | & -9 0 & 1 & 3 & | & 6 0 & 0 & 1 & | & 2

Passo 8

Por fim, eliminamos x3 das linhas 1 e 2:
  • R1 R1 + 5·R3
  • R2 R2 - 3·R3
    O que resulta na forma reduzida:
1 & 0 & 0 & | & 1 0 & 1 & 0 & | & 0 0 & 0 & 1 & | & 2

Passo 9

Da matriz obtida vemos diretamente as soluções das incógnitas.

Resposta

x1 = 1,; x2 = 0,; x3 = 2

Exercícios relacionados