Seja (K, +, cdot ) um corpo. Mostre que:
Se 01 e 02 são elementos de K satisfazendo:
x+01=x e x+02=x, forall x in K
então 01=02. Em outras palavras, existe um único elemento neutro da soma num corpo que denotamos por 0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num corpo (K,+,cdot), se existem dois elementos 01 e 02 que satisfazem
x+01 = x e x+02 = x para todo xinK, então na verdade 01 = 02. O conteúdo aqui é a unicidade do elemento neutro em um grupo abeliano (a adição em um corpo forma um grupo abeliano).

Passo 2

Como 02 é elemento neutro aditivo, vale
01 + 02 = 01
pois basta tomar x = 01 na propriedade x + 02 = x.

Passo 3

Como 01 também é elemento neutro aditivo, vale
02 + 01 = 02
basta tomar x = 02 na propriedade x + 01 = x.

Passo 4

A adição em K é comutativa, então
01 + 02 = 02 + 01
Juntando isso com os passos anteriores, temos
01 = 01 + 02 = 02 + 01 = 02,
logo 01 = 02, mostrando a unicidade do neutro aditivo.

Resposta

0_1 = 0_2

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