Mostre que Q(raiz2) é um corpo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto Q(raiz2)=a+braiz2:a,binQ é um corpo. Isso cai no conteúdo de teoria de corpos e extensões de corpos. Para isso vamos usar a definição de corpo: um corpo é um anel comutativo com unidade onde todo elemento não-nulo tem inverso multiplicativo. Precisamos, portanto, verificar fechamento nas operações de soma e produto, existência de elementos neutros e de inversos (adi ivo e multiplicativo).

Passo 2

Definimos Q(raiz2)=a+braiz2:a,binQ. Agora mostramos que ele é fechado sob soma e produto. Sejam x=a+braiz2 e y=c+draiz2 com a,b,c,dinQ. Então:
x+y=(a+c)+(b+d)raiz2,
que está em Q(raiz2), e
xcdot y=(a+braiz2)(c+draiz2)=(ac+2bd)+(ad+bc)raiz2,
que também pertence a Q(raiz2). Assim o conjunto é fechado nessas operações.

Passo 3

Em seguida, mostramos os elementos neutros e o oposto aditivo. O elemento neutro da soma é 0=0+0raiz2, e o oposto de x=a+braiz2 é
-x=-a+(-b)raiz2,
que está em Q(raiz2). O elemento neutro do produto é 1=1+0raiz2, que claramente pertence ao conjunto. Portanto temos um anel comutativo com unidade.

Passo 4

Finalmente, para cada x=a+braiz2neq0 mostramos que existe o inverso multiplicativo em Q(raiz2). Note que x=0 implica a=b=0. Se xneq0, pelo fato de raiz2 ser irracional, não pode ocorrer a^2-2b^2=0 (caso contrário raiz2=a/binQ, absurdo). Logo o inverso é
x^-1=1a+braiz2=a-braiz2a^2-2b^2,
que pertence a Q(raiz2). Isso mostra que todo elemento não nulo tem inverso.

Passo 5

Como verificamos fechamento nas operações, existência de neutros e opostos, e inversos multiplicativos para qualquer elemento não nulo, concluímos que Q(raiz2) satisfaz todas as condições para ser um corpo.

Resposta

Logo, Q(raiz2) é um corpo.

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