Mostre que
é um corpo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
é um corpo. Isso cai no conteúdo de teoria de corpos e extensões de corpos. Para isso vamos usar a definição de corpo: um corpo é um anel comutativo com unidade onde todo elemento não-nulo tem inverso multiplicativo. Precisamos, portanto, verificar fechamento nas operações de soma e produto, existência de elementos neutros e de inversos (adi ivo e multiplicativo).
Passo 2
Definimos
. Agora mostramos que ele é fechado sob soma e produto. Sejam
e
com
. Então:
que está em
, e
que também pertence a
. Assim o conjunto é fechado nessas operações.
Passo 3
Em seguida, mostramos os elementos neutros e o oposto aditivo. O elemento neutro da soma é
, e o oposto de
é
que está em
. O elemento neutro do produto é
, que claramente pertence ao conjunto. Portanto temos um anel comutativo com unidade.
Passo 4
Finalmente, para cada
mostramos que existe o inverso multiplicativo em
. Note que
implica
. Se
, pelo fato de
ser irracional, não pode ocorrer
(caso contrário
, absurdo). Logo o inverso é
que pertence a
. Isso mostra que todo elemento não nulo tem inverso.
Passo 5
Como verificamos fechamento nas operações, existência de neutros e opostos, e inversos multiplicativos para qualquer elemento não nulo, concluímos que
satisfaz todas as condições para ser um corpo.
Resposta
Logo,
é um corpo.